Gambar Sampul Matematika · Bab 5 Transformasi Bidang Datar
Matematika · Bab 5 Transformasi Bidang Datar
Kana Hidayati SariDewi

24/08/2021 13:52:30

SMA 11 KTSP

Lihat Katalog Lainnya
Daftar Isi
 Bab 1 Logika MatematikaBab 2 Relasi dan FungsiBab 3 Barisan dan Deret BilanganBab 4 Geometri Dimensi DuaBab 5 Transformasi Bidang Datar
Halaman
155Transformasi Bidang DatarTransformasi Bidang DatarBab5A. TranslasiB. RefleksiC. RotasiD. DilatasiE. Komposisi TransformasiSumber: img507.imageshack.usPada Bab 2, Anda telah mempelajari pemetaan pada bilangan real, yaitu suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan real dengan bilangan real lainnya. Pada bab ini, Anda akan mempelajari pemetaan pada bangun geometri, yaitu transformasi geometri. Transformasi geometri adalah suatu aturan yang menghubungkan suatu titik di suatu bidang geometri (misalnya bidang datar) dengan titik lain pada bidang tersebut.Pada bab ini, Anda akan mempelajari empat macam transformasi geometri pada bangun datar, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dilatasi (perbesaran atau perkalian), dan rotasi (perputaran). Tranformasi-transformasi tersebut sangat erat kaitannya dalam kehidupan sehari-hari, contohnya adalah bayangan suatu objek pada cermin datar merupakan hasil transformasi objek tersebut pada cermin. Jika tinggi objek itu 25 cm dan tinggi cermin lebih besar dari tinggi objek? Berapakah tinggi bayangan objek pada cermin? Anda akan dapat menjawabnya setelah mempelajari bab ini dengan baik. Pada bab ini, Anda akan diajak untuk menentukan kedudukan, jarak yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam dimensi dua sehingga Anda dapat menerapkan transformasi bangun datar menentukan kedudukan, jarak, yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua, serta menerapkan transformasi bangun datar.
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi156Soal PramateriMateri tentang Transformasi Bidang Datar dapat digambarkan sebagai berikut.Peta KonsepKerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.1. Tuliskanlah ciri-ciri bidang datar berikut. a. Jajargenjang c. Belahketupat b. Trapesium d. Layang-layang2. Tuliskanlah rumus luas dari bidang datar berikut a. Segitiga c. Belahketupat b. Trapesium d. PersegipanjangTransformasi Bidang DatarTranslasiRefleksiRotasiDilatasiKomposisi TransformasiJenis-jenis TransformasiA(x, y)abA'(x + a, y + b)A(x, y)0A'(x, –y)A(x, y)x0A'(–x, y)A(x, y)yxA'(y, x)A(x, y)yxA'(–y, –x)A(x, y)xaA'(2a – x, y)A(x, y)ybA'(x, 2b – y)• Pusat Rotasi (0, 0)x' = x cos θ – y sin θy' = x sin θ+ y cos θ• Pusat Rotasi (a, b)x' = a + (x – a)cos θ – (y – b)sin θy' = b + (x – a)sin θ + (y – b)cos θ• Pusat Dilatasi [O, k]A(x, y) ¾A'(kx, ky)• Pusat Dilatasi [p, k]A(x, y) ¾A'(a + k(x – a), b + k(y – b))bayangannyabayangan terhadap garisbayangan terhadap pusat rotasibayangan terhadap pusat dilatis3. Jelaskan yang dimaksud dengan: a. absis c. transformasi b. ordinat d. isometri
157Transformasi Bidang DatarA TranslasiSebelum mempelajari materi translasi, perhatikan transformasi pada titik A(x, y) berikut.A(x,y)A'(x',y')xyy'x'YXTBayangan titik A(x, y) oleh transformasi T menghasilkan bayangan dari titik A, yaitu titik A'(x', y'). Jika titik-titik yang ditransformasikan terletak pada suatu bangun geometri maka akan terbentuk suatu bangun baru yang bentuknya sama dengan bangun semula, hanya berbeda posisi. Jadi dapat disimpulkan bahwaTransformasi pada bangun geometri merupakan suatu aturan yang memindahkan suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain dengan tidak mengubah bentuk bangun tersebut.Transformasi yang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antaranya translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dan rotasi (putaran). Adapun transformasi yang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian) karena ukuran bayangan dapat diperbesar atau diperkecil.Pada subbab ini Anda akan mempelajari konsep translasi, sedangkan transformasi lain akan dipelajari pada subbab-subbab selanjutnya. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memetakan suatu titik pada titik lain sebagai bayangannya. Fungsi yang memetakan titik tersebut sepanjang sumbu-x (horizontal) dan dilanjutkan pada sumbu-y (vertikal). Translasi dinyatakan oleh pasangan terurut ab dengan a merupakan komponen translasi pada arah sumbu-x dan b merupakan komponen translasi pada arah sumbu-y. Translasi dapat dibayangkan dengan memindahkan objek-objek di sekitar kita. Misalnya pada pemindahan meja A. pada gambar Transformasi titik A(x, y) menjadi A'(x', y')Gambar 5.1Kata Kunci• transformasi• translasi• koordinat cartesius• absis• ordinal• isometri
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi158berikut.mejameja'posisi meja mula-mulaposisi meja setelah dipindah2 meterAA'1 meterTmeja dipindah sepanjang garis lurusPada Gambar 5.2, meja dipindahkan sepanjang garis lurus sejauh 2 m ke kanan dan 1 m ke atas oleh suatu translasi T = 21, sehingga meja A berpindah ke meja A ́. Dengan membayangkan meja adalah suatu titik pada bidang koordinat Cartesius maka diperoleh Gambar 5.3.A(x,y)A'(x',y')xbx + ay + byy'x'YXTPada Gambar 5.3 tampak, titik A(x,y) ditranslasikan oleh translasi T = ab sepanjang garis lurus sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke atas. Bayangan dari titik A yang Gambar 5.2Translasi sebuah mejaGambar 5.3Titik A (x, y) ditranslasikan oleh T = abdiperoleh bayangan A'(x', y') yaitu A'(x + a, y + b) diperoleh titik A ́(x+a, y+b).Contoh tersebut memperjelas definisi berikut.Jika titik A(x,y) ditranslasikan oleh translasi T = ab maka diperoleh bayangan dari A, yaitu A ́(x ́, y ́) denganx ́ = x + a dan y ́ = y + bTranslasi T = ab pada titik A(x, y) dapat ditulis T = ab: A(x, y) = A ́(x ́, y ́) di mana
159Transformasi Bidang DatarContohSoal5.1Te n t ukanlahbayangan titik-titikberikut terhadap translasiT.TTa.A(3, 1) jika ditranslasikan olehT= T12b.B(–4, 2) jika ditranslasikan olehT=T12c.C(2, –3) jika ditranslasikan olehT=T12d.D(–1, –1) jika ditranslasikan olehT = T12Jawab:Untuk menentukan bayangannya, gunakan persamaan translasi berikut.x' =x+adany' =y+ba.Diketahui A(3, 1) dan T = T12maka x = 3, xy = 1,ya= 1,dan b= 2.Diperolehx'=x+a= 3 + 1 = 4y' = y+b = 1 + 2 = 3Jadi, bayangan dari titikA(3, 1) jika ditranslasikan olehT =T12adalahA'(4,3).b.Diketahui B(–4, 2) dan T=T12makax = –4, y = 2, a = –1, dan b = 2. Diperoleh,x' = x+a= –4 + (–1) = –5y'=y+b=2+2=4Jadi, bayangan dari titikB(–4, 2) jika ditranslasikan olehT=T12adalahB'(–5,4).c.Diketahui C(2, –3) danT =T12makax = 2,y = –3,a = 1,danb = –2. Diperolehx'=x+a= 2 + 1 = 3y' = y+b = (–3) + (–2) = –5t KJLBa > 0, maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kanan (menuju x positif )t KJLBa < 0 maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kiri (menuju x positif ).t KJLBb > 0 maka arah pergeserannya adalah b satuan ke atas (menuju y positif ).Mendorong benda adalah contoh translasiGambar 5.4Sumber : www.vill.nishiokoppe.hokkaido.jp
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi160Contoh Soal 5.3Cermatilah sketsa denah penataan satuan ruangan sebuah kantor berikut.21364578Keterangan1,2,3,dan 4 = kursi tamu5 = meja tamu6 = kursi sekretaris7 = meja sekretaris8 = lemari arsipJadi, bayangan dari titik C(2, –3) jika ditranslasikan oleh T = 12 adalah C'(3, –5).d. Diketahui D(–1, –1) dan T = 12 maka x = –1, y = –1, a = –1, dan b = –2. Diperoleh,x' = x + a = (–1) + (–1) = –2x' = y + b = (–1) + (–2) = –3Jadi, bayangan dari titik D(–1, –1) jika ditranslasikan oleh T = 12 adalah D'(–2, –3).101-12-2-1-23-3-34-4-45-5-5B'yxBDD'C'CAA'2345Gambar 5.5A, B, C, dan D beserta bayangannya A', B', C' dan D' oleh translasi T.t KJLBb < 0 maka arah pergeserannya adalah b satuan ke bawah (menuju y positif ).Contoh Soal 5.2Jika bayangan dari titik A(2, 3) adalahA'(3, –1) maka tentukanlahaturan translasinya.Jawab:DiketahuiA(2, 3) dan A'(3, –1) makax= 2,y = 3,x' = 3,dan y' = –1.Dengan menggunakan persamaan translasix'=x+a dany'=y+b diperoleh3 = 2 +aa = 3 – 2 = 1–1 = 3 + ab= –1 – 3 = –4 Jadi, translasi yang memetakan titikA(2, 3) ke titik A'(3, –1) adalahT =T14.Anda juga dapat menentukan aturan tranlasi jika diketahui titik asal dan bayangannya. Pelajarilah contoh soal berikut.Pada Contoh Soal 5.1 dan 5.2, Anda telah mempelajari translasi sebuah titik. Selanjutnya, translasi juga dapat dilakukan
161Transformasi Bidang DatarKerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1.Te n t ukan bayangan dari titik-titikberikut yang ditranlasikan olehT= T42.a.A(2, 5)b.B(–3, 1)c.C(6, 7)d.D(0, 5)2.Bayangan dari titik P(4,–5) yang di trans-lasikan olehTAdalah TP'(–2,6). Tentukantranslasi T.TTEvaluasi Materi 5.1Kemudian tata ruang kantor tersebut hendak diubah menjadi seperti denah berikut.32614587Tentukanlah translasi dari setiap benda yang terletak pada ruang kantor tersebut.Jawab:Perhatikanlah translasi yang dilakukan oleh kursi tamu (1), dan lemari arsip (8) berikut1188Kursi tamu (1) berpindah 5 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah maka translasinya adalah T1 = 53, sedangkan lemari arsip (8) berpindah 1 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas maka translasinya adalah T8 =14Dengan cara yang sama, diperoleh tranlasi benda-benda dalam, ruang kantor sebagai berikut.Translasi pada (2), (3), (4), (5), (6), dan (7) berturut-turut adalahT2=24, T3=22, T4=33, T5=33, T6=61, T7=41.
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi162B RefleksiRefleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar. Pada refleksi, jarak benda dengan cermin sama dengan jarak bayangannya pada cermin. Garis yang menghubungkan titik-titik pada benda dengan titik-titik pada bayangannya tegak lurus dengan cermin, serta ukuran dan bentuk bayangan sama dengan bentuk benda. Perhatikan gambar berikut. cerminorang yang sedang bercerminbayangan dari orang yang sedang bercerminPada bidang geometri, cermin dilukis sebagai sebuah garis lurus, seperti sumbu-x, sumbu y, garis y = x, garis y = –x, dan lain sebaginya. Misalkan A(x, y) adalah titik pada bidang koordinat Cartesius, sumbu-y adalah cermin, dan A'(x', y') adalah bayangan dari A terhadap sumbu-y maka jarak A ke sumbu-y sama dengan jarak A' ke sumbu-y dan garis AA' tegak lurus 3. Perhatikan gambar berikut.Tentukan translasi T yang memetakan segitiga ABC ke A' B' C'.4. Diketahui koordinat titik sudut suatu segi-empat ABCD adalaah A(1,1), B(5,1), C(5, 4), dan D(1,4).a. Jika titik-titik sudut tersebut ditranslasi -kan oleh translasi T yang memetakan segitiga ABC pada soal nomor 3, tentukan koordinat bayangan dari titik-titik tersebut.b. Gambarkan segiempat ABCD dan bayang an nya pada bidang koordinat Cartesius (gunakan kertas berpetak), kemudian tentukan keliling dan luas segiempat ABCD.Gambar 5.6Ukuran dan bentuk ikan sama dengan bayangannya.Kata Kunci• refleksi• sumbu refleksi• matriks refleksiSumber : www.aquahobby.com112345yxCBAA'C'B'2346758
163Transformasi Bidang Datardengan sumbu-y.yAA'x0Garis-garis yang berfungsi sebagai cermin disebut sumbu cermin atau sumbu refleksi. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari refleksi terhadap sumbu-x, refleksi terhadap sumbu-y, refleksi terhadap garis y = x, refleksi terhadap garis y = –x, refleksi terhadap garis x = a, dan refleksi terhadap garis y = b. Pelajarilah uraian berikut.1. Refleksi Terhadap Sumbu-xMisalkan A(x, y) adalah titik pada bidang koordinat Cartesius dan A'(x',y') adalah bayangan dari titik A(x, y) yang direfleksikan terhadap sumbu-x. Bagaimanakah menentukan titik A'? Perhatikan grafik berikut.012–2yxA'BB'A3–1Pada gambar 5.8, titik A(2, 2) dan B(–3, –1) direfleksikan terhadap sumbu-x, sehingga diperoleh titik A'(2, –2) dan B'(–3, 1). Lihatlah, jarak titik A dan A' dengan sumbu-x adalah sama, yaitu 2 satuan dan garis AA' tegak lurus dengan sumbu-x. Jadi, bayangan dari titik A(2, 2) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah A'(2, –2). Perhatikan diagram berikut.Refleksi titik A terhadap sumbu-yGambar 5.7Refleksi titik A dan B terhadap sumbu-xGambar 5.8
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi164A(2, 2) ¾ A'(2, –2) absis : 2 ¾ 2 ordinat : 2 ¾ –2tetapberubah tandaJarak titik B dan B' dengan sumbu-x sama, yaitu 1 satuan dan garis BB' tegak lurus dengan sumbu-y. Jadi bayangan dari titik B(–3, –1) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah B'(–3, 1). Perhatikan diagram berikut.B(–3, –1) ¾ B'(–3, 1) absis : –3 ¾ –3 ordinat : –1 ¾ 1tetapberubah tandaDari contoh tersebut tampak koordinat bayangan yang dihasilkan mempunyai absis (koordinat x) yang nilai dan tandanya sama dengan absis titik sebelumnya. Adapun, ordinatnya hanya berubah tanda.ContohSoal5.4Tentukan bayangan dari titik-titik berikut yang direfleksikan terhadap sumbu–x,kemudian gambarkan bayangannya pada bidang koordinatCartesius.a.A(3, 2)c.C(–2, 4)b.B(5, –1)d.D(–3, –3)Jawab:a.TitikA(3, 2) x = 3 dan y= 2 maka diperolehx' = x = 3dan y' = –y = –2.Jadi, bayangan dari titikA(3, 2) yang direfleksikan terhadapsumbu-xadalahA'(3, –2).b.TitikB(5, –1)x= 5 dan y = –1 maka x'=x= 5 dan y'=–y= – (–1) = 1.Jadi, bayangan dari titikB(5,–1) yang direfleksikan terhadap sumbu-xadalahA'(5, 1).A(x, y) ¾ A'(x, –y) absis : x ¾ x ordinat : y ¾ –ytetapberubah tandaJadi, secara umum definisi refleksi adalah sebagai berikut.Jelajah MatematikaLeonardo da Vinci (1452–1519)Seorang seniman dan ahli teknik berkebangsaan Italia, Leonardo da Vinci adalah salah seorang jenius dari zaman Renaissance. Ia yang membuat lukisan paling terkenal sepanjang massa, yaitu "monalisa" dan "The Last Supper", Da vinci selalu mengisi buku catatannya dengan berbagai penemuan dan inovasi ilmiah. Ia dapat menggambar dengan tangan kanan dan menulis dengan tangan kiri serta menggunakan tulisan cermin untuk mencatat pekerjaannya.Sumber: www.hschamberlain.net
165Transformasi Bidang DatarContohSoal5.5Diketahui segitiga ABCdengan titik-titik sudutnya, yaitu A(1, 4),B(3, 1), dan C(4, 6). Gambarlah bayangan dari segitiga ABCyangdirefleksikan terhadap sumbu-xpadabidang koordinat Cartesius.Jawab:Diketahui titik-titik sudut segitigaA(1, 4), B(3, 1), danC(4, 6).Untuk mendapatkan bayangan dari segitiga ABC yang direfleksikanterhadap sumbu –x, tentukan terlebihdahulu koordinat bayangan dari titik-titik sudutnya.Bayangan dariA(1, 4) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalahA'(1, –4).Bayangan dariB(3, 1) yang direfleksikan terhadap sumbu-xadalah B'(3, –1).Jika A(x, y) direfleksikan terhadap sumbu-x maka diperoleh bayangannya, yaitu A'(x', y'), dengan persamaanya sebagai adalah x' = x dan y' = –yDitulisc. Pada titik C(–2, 4) ¾ x = –2 dan y = 4 maka x' = x = –2 dan y' = –y = –4.Jadi, bayangan dari titik C(–2, 4) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah A'(–2,-4).d. Pada titik D(–3, –3) ¾ x = –3 dan y = –3 maka x' = x = –3 dan y' = –y = –(–3) = 3.Jadi, bayangan dari titik D(–3, –3) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah A'(–3, 3).101234–2–3–4–2–1yxDC'2345–1–3A'BB'ACD'Titik A (3, 2), B (5,1), C (–2, 4) dan D (–3, –3) direfleksikan terhadap sumbu–x diperoleh A' (3, – 2),B' C' (–2, –4), dan D' (–3, 3)Gambar 5.9
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi166A(x, y) A'(x, –y)sumbu-xPersamaan x' = x dan y' = –y disebut persamaan transformasi refleksi.Seperti pada translasi, Anda juga dapat menentukan refleksi pada beberapa titik yang membentuk suatu bidang datar. Bidang datar yang dihasilkan akan sama bentuk dan ukurannya. Perhatikan Contoh Soal 5.5 berikut.Pada gambar tersebut terlihat segitiga ABC kongruen dengan segitiga A'B'C'.Persamaan transformasi dapat diterjemahkan dalam bentuk matriks. Anda dapat menentukan bayangan suatu titik yang transformasikan dengan menggunakan operasi perkalian dua buah matriks.Untuk refleksi terhadap sumbu-x, perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut.x' = x dan y' = yJika persamaan tersebut diuraikan, diperolehx' = 1 Ÿx + 0 ŸyBayangan dari C(4, 6) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah C'(4, –6).Bayangan dari segitiga ABC diperoleh dengan menghubungkan titik-titik A'(1, –4), B'(3, –1), dan C'(4, –6) seperti pada Gambar 5.11 berikut.0123456–4–5–1–2–3A'AC'CBB–6yxGambar 5.10Segitiga ABC direfleksikan terhadap sumbu-x menghasilkan segitiga A'B'C'
167Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.6Dengan menggunakan matriks refleksi terhadap sumbu-x, tentukanbayangan titik-titik berikut.a.A(3, 2)c.C(–2, 4)b.B(5, –1)d.D(–3, –3)Jawab:a.Pada titikAk(3, 2),x = 3dan y = 2 maka diperolehxy''=1001xy=100132=1302032ŸŸ33022Ÿ33 1Ÿ22+=32Diperolehx' = 3dan y' = –2. Jadi, bayangan dari titik A(3, 2)yangdirefleksikan terhadap sumbu-x' adalahA'(3, –2).b.Pada titikB(5, –1),x= 5 dan y = –1 maka diperolehxy''=1001xy=100151=15005Ÿ55 1Ÿ55 1Ÿ 1Ÿ++=51Diperolehx' = 5 dan y' = 1. Jadi, bayangan dari titik B(5, –1) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalahA'(5, 1).c.Padatitik C(–2, 4),x = –2 dany = 4 maka diperolehxy''=1001xy=100124=10404Ÿ 2ŸŸ44Ÿ 2Ÿ 1Ÿ44++=24NotesMatriks refleksi terhadap sumbu-x adalah 1001
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi168y' = 0 Ÿx + (–1) Ÿymaka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.xyxy''=10011001 disebut matriks refleksi terhadap sumbu-x.2. Refleksi terhadap Sumbu-yAnda telah mempelajari cara menentukan bayangan yang direfleksikan pada sumbu-x. Sekarang, Anda akan mempelajari sumbu-y. Sebelumnya perhatikan Gambar 5.11 berikut.2–2yx34B'A'BA–3–4Pada gambar tersebut, titik A dan B tegak lurus terhadap sumbu-y.Perhatikan, jarak titik A dan A' dengan sumbu-y sama, yaitu 3 satuan dan garis AA' tegak lurus dengan sumbu-y. Jadi, bayangan dari titik A(3, 2) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah A'(–3, 2). Perhatikan diagram berikut.Diperoleh x' = –2 dan y' = –4. Jadi, bayangan dari titik C(–2, 4) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah A'(–2, –4).d. Pada titik D(–3, –3), x = –3 dan y = –3 maka diperolehxy''= 1001xy = 100133 = 100Ÿ 3ŸŸ 3ŸŸ 3Ÿ 1Ÿ 3Ÿ++ = 33Diperoleh x' = –3 dan y' = 3. Jadi, bayangan dari titik D(–3, –3) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah A'(–3, 3).Gambar 5.11Refleksi terhadap sumbu-y
169Transformasi Bidang DatarA(3, 2) ¾ A'(–3, 2) absis : 3 ¾ –2 ordinat : 2 ¾ 2berubah tandatetapJarak titik B dan B' dengan sumbu-y sama, yaitu 4 satuan dan garis BB' tegak lurus dengan sumbu-y. Jadi, bayangan dari titik B(–4, –2) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah B'(4, –2).B(–4, –2) ¾ B'(4, –2) absis : –4 ¾ 4 ordinat : –2 ¾ –2berubah tandatetapDari contoh-contoh tersebut tampak koordinat bayangan yang dihasilkan mempunyai absis yang nilainya sama dengan absis titik sebelumnya tetapi tandanya berubah. Untuk ordinatnya, nilai dan tandanya sama dengan ordinat titik sebelumnya.ContohSoal5.7Te n t ukan bayangan dariA(3, 4) dan B(–2, 3) yang direfleksikanterhadap sumbu-y.Jawab:A(3, 4) makax = dany = 3Dengan menggunakan persamaan transformasi refleksi terhadapsumbu-y, yaitu yyx'=–xdan y'=ydiperoleh,x' = –x= –3y'=y=4Jadi, bayangan dari A(3,4) yang direfleksikan terhadap sumbu-yadalahA'(–3, 4).B(–2, 3) maka x= –2 dany = 3x' = – (–2) = 2y' = y= 3A(x, y) ¾ A'(–x, y) absis : x ¾ –x ordinat : y ¾ yberubah tandatetapSecara umum, refleksi terhadap sumbu-y dapat didefinisikan sebagai berikutSearchKetik: www.e-edukasi.net/mapok.Pada situs ini, Anda dapat mempelajari transformasi geometri yang terdiri atas translasi, refleksi, rotasi, dilatsi, serta komposisinya.
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi170Jika A(x, y) direfleksikan terhadap sumbu-y, maka di peroleh bayangannya, yaitu A'(x', y'), denganContoh Soal 5.8Koordinat-koordidat titik sudut suatubidang ABCD adalahA(3, 1),B(6, 3),C(3, 5), dan D(0, 3). Gambarkan bayangan dari bangun tersebut jika direfleksikan terhadap sumbu-y dan tentukan nama bangun dariybayangan yang terbentuk.Jawab:Pertama tentukan bayangan dari titik-titikA(3, 1),B(6, 3),C(3, 5),dan D(0, 3) yang direfleksikan terhadap sumbu-y.Bayangan dari A(3, 1) adalahA'(–3, 1)Bayangan dari B(6, 3) adalahB'(–6, 3)Bayangan dariC(3, 5) adalahC'(–3, 5)Bayangan dari D(0, 3) adalahD'(0, 3)Pada refleksi, bayangan yang terbentuk akan memiliki bentukdan ukuran yang sama dengan benda. BidangABCD merupakan belahketupat sehingga A'B'C'D'adalahbelahketupat.30BA'D'C'CDAB'5–3yx6–6Jadi, bayangan dari B(3, 4) yang direfleksikan terhadap sumbu-y adalah B'(2, 3).103BA'B'A4–2–1yx23–3Gambar 5.13Benda dan hasil refleksi sama bentuk dan ukuranGambar 5.12Refleksi titik A(3, 4) dan B(-2, 3) terhadap sumbu-y diperoleh A'(-3, 4) dan B'(2, 3)
171Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.9Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan bayangan dari titikA(–5, 3) yang direfleksikan terhadap sumbu-y.Jawab:DiketahuiA(–5, 3) makax = –5dany = 3.Persamaan matriks refleksi terhadap sumbu -y adalah sebagai berikutyxyxy''=1001Diperolehxy''=100153=Ÿ ŸŸŸ ŸŸ1ŸŸŸ03Ÿ0ŸŸŸ13Ÿ++=53Jadi, bayangan A(–5, 3) yang direfleksikan terhadap sumbu-yadalahyA'(5, 3).x' = –x dan y' = yditulis A(x, y) A'(–x, y)sumbu-yPersamaan x' = –x dan y' = y disebut persamaan transformasi refleksi terhadap sumbu-y.Contoh soal berikut adalah contoh refleksi suatu bangun terhadap sumbu-y. Pelajarilah dengan baik, agar Anda me-mahami nya.Sama seperti terhadap sumbu-x, refleksi terhadap sumbu-y juga memiliki persamaan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut.x' = –x y' = yJika persamaan tersebut diuraikan akan, diperolehNotesMatriks refleksi terhadap sumbu-y adalah 1001
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi172OQ = OP atau ordinat A' = absis A A'P = AP atau absis A' = ordinat Ax' = (–1) Ÿx + 0 Ÿy y' = 0 Ÿx + 1 Ÿymaka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.xyxy''=10011001 disebut matriks refleksi terhadap sumbu-y.3. Refleksi terhadap Garis y = xPerhatikan Gambar 5.14 berikut.1012345A'APy = xQyx2345Pada Gambar 5.14 tersebut, titik A(1, 4) direfleksikan terhadap garis y = x. Jarak A ke garis y = x sama dengan jarak A' ke garis y = x. Garis AA' tegak lurus dengan garis y = x. Jadi A'(4, 1) adalah bayangan dari titik A(1, 4). Bagaimanakah hubungan antara koordinat titik A dengan koordinat bayangannya? Pada Gambar 5.14 tampak panjang OP = OQ dan AP = A'Q. Jadi panjang OA = OA'. Jadi, segitiga A'OQ sama dengan segitiga AOP sehingga diperoleh,Gambar 5.14Refleksi terhadap garis y = x
173Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.10Te n t ukan bayangan dari titikA(–3, 1) danB(4, –3) yang direfleksikan terhadapgarisy=x.Jawab:Bayangan ditentukan dengan menggunakan rumusx'=yy' = xPadaA(–3, 1), x= –3dany= 1 diperolehx'=1y' = –3Jadi, bayangan dari titikA(–3, 1) adalahA'(1, –3) .PadaB(4, –3),x = 4 dan y= –3 diperolehx' = –3y'=4Jadi, bayangan dari titikB(4, –3) adalahB'(–3, 4).0114–3AA'By= xB'–3yx4Contoh Soal 5.11Koordinat-koordinat titik sudut suatu segiempat ABCD adalahA(3, 0),B(5, –4), C(7, 0), danD(5, 2). Tentukan:a.bayangan dari titik-titik sudut segiempatABCD jika titik-titiksudut tersebut direfleksikan terhadapgarisy=x,b.luas segiempat ABCD danA'B'C' D' tersebut.Jawab:a.A(3, 0) A'(0, 3)Jadi, bayangan dariA(3, 0) adalahA'(0, 3).B(5, –4)B'(–4, 5)Titik A(–3, 1) dan B(4, –3) direfleksikan terhadap garis y = xdiperoleh A'(1, –3) dan B(–3, 4)Gambar 5.15
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi174Jadi, bayangan dari B(5, –4) adalah B'(–4, 5). C(7, 0) ¾ C'(0, 7)Jadi, bayangan dari C(7, 0) adalah C'(0, 7). D(5, 2) ¾ D'(2, 5)Jadi, bayangan dari D(5, 2) adalah D'(2, 5).b. Berikut adalah gambar segiempat ABCD dan bayangannya, yaitu A', B', C', D'.012345 6 –4–4yB'C'D'A'DCBAy = xx124 567 73Segiempat yang terbentuk adalah layang-layang ABCD dengan panjang diagonal AC = 4 satuan dan panjang diagonal DB = 6 satuan.Rumus luas layang-layang adalah 12¾ diagonal 1 ¾diagonal 2, maka diperoleh L = 12¾ AC ¾ DB = 12¾ 4 ¾ 6 = 12 Luas layang-layang ABCD adalah 12 satuan luas, sehingga luas layang-layang A'B'C'D' juga 12 satuanluas.A(1, 4) A'(4, 1)y = xsamasamaSecara umum, refleksi terhadap garis y = x dapat didefinisikan sebagai berikut.Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = x maka diperoleh bayangan dari A, yaitu A'(x', y'), denganx' = y dan y' = x ditulis A(x, y) A'(y, x)y = xPersamaan x' = y dan y' = x disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = x.Berikut adalah contoh soal refleksi beberapa titik yang membentuk NotesMatriks refleksi terhadap garis y = x adalah 0110Gambar 5.16Luas ABCD sama dengan luas A'B'C'D'.
175Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.12Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan bayangan dari titikA(–7, –3) yang direfleksikan terhadapgarisy=yxdengan menggunakan xmatriks refleksi.Jawab:Diketahui A(–7, –3) makax = –7 dan y = –3.Dari persamaan matriks xyxy''=0110diperolehxy''=011073=0110Ÿ 7ŸŸ 3ŸŸ 7ŸŸ 3Ÿ++=37Jadi, bayangan dariA(–7, –3) yang direfleksikan terhadap garis y=xadalahA'(–3, –7).suatu bidang pada garis y = x.Sama seperti refleksi terhadap sumbu-x dan sumbu-y, refleksi terhadap garis y = x dapat ditentukan dengan meng-gunakan matriks.Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut.x' = yy' = xJika persamaan di atas diuraikan, diperolehx' = 0 Ÿ x + 1 Ÿy y' = 1 Ÿx + 0 Ÿy maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.xyxy''=01100110 disebut matriks refleksi terhadap garis y = x.4. Refleksi terhadap Garis y = –xGaris y = –x adalah kedudukan titik-titik koordinat yang memenuhi persamaan y = –x atau x = –y. Contohnya titik (2, Titik A(–3, 1) dan B(4, –3) direfleksikan terhadap garis y = xdiperoleh A'(1, –3) dan B(–3, 4)Gambar 5.17
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi176koordinat bayangannya adalah sebagai berikut. Pada gambar tampak panjang OP = OQ dan AP = A'Q. Jadi ContohSoal5.13Tentukan bayangan dari titikA(–6, 5) yang direfleksikan terhadap garis y =–x.Jawab:Bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = –x,yaitux' = –yy'=–xPadaA(–6, 5),x= –6 dany = 5 maka diperolehx' = –5y' = –(–6) = 6Jadi, bayangan dari titikA(–6, 5) adalahA'(–5, 6).panjang OA = OA'. Jadi, segitiga A'OQ sama dengan segitiga AOP. OQ = OP atau ordinat A' = – absis A –2) dan (–2, 2) terdapat pada garis y = –x. Perhatikanlah uraian berikut, agar Anda memahami refleksi terhadap garis y = –x.03y = –xA'PA–3–2yx2Pada gambar misalkan, titik A(2, 3) direfleksikan terhadap garis y = –x. Jarak bayangan dari A, yaitu titik A', ke garis y = –x sama dengan jarak A ke garis y = –x. Garis AA' tegak lurus dengan garis y = –x. Jadi, A'(–3, –2) adalah bayangan dari titik A(2, 3). Kemudian, hubungan antara koordinat titik A dan
177Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.14Koordinat-koordinat titik sudut suatu segiempat ABCD adalahA(1, 0), B(8, 0),C(6, 3), dan D(3, 3). Tentukan:a.bayangan dari titik-titik sudut segiempat ABCDjika direfleksikanterhadapgaris y=–x.b.luas segiempat ABCD tersebut.Jawab:a.A(1,0)A'(0, –1)Jadi, bayangan dariA(1, 0) adalahA'(0, –1).B(8, 0) B'(0, –8)Jadi, bayangan dariB(8, 0) adalahB'(0, –8).C(6,3)C'(–3, –6)Jadi, bayangan dariC(6, 3) adalah C'(–3, –6).D(3, 3)D'(–3, –3)Jadi, bayangan dariD(3, 3) adalahD'(–3, –3).b.Bidang datar dan bayangan yang terbentuk terlihat pada gambar berikut.31–1–3–3–3–6–8y= –xD'DAACxBC'B'y468Segiempat yang terbentuk adalah trapesiumABCD dengan panjangAB= 7 satuan tinggiDP = 3 satuan, dan panjangDC= 3 satuan. Oleh karena itu, luas trapesium ABCDadalah 12Ÿ(AB + DC)DP=12(7 + 3)Ÿ3=12Ÿ10Ÿ3 = 15satuan2.A'P = AP atau absis A' = – ordinat A
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi178A(2, 3) A'(–3, –2)y = –xberubah tandaberubah tandaJadi, secara umum refleksi terhadap garis y = –x dapat di definisi kan sebagai berikut.Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = –x, maka diperoleh bayangan dari A, yaitu A'(x', y'), denganx' = –y dan y' = –xditulis A(x, y) A'(–y, –x)y = –xPersamaan x' = –y dan y' = –x disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = –x.Contoh Soal 5.15Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan bayangan dari titik A(8, –5) yang direfleksikan terhadapgaris y=–x.Jawab:DiketahuiA(8, –5) makax = 8 dan y= –5.Oleh persamaan matriks refleksi terhadapgaris y =x adalah sebagaiberikut. xy''= 0110xyDengan demikian, diperolehxy''= 011085=0880Ÿ88 1Ÿ 5Ÿ 1ŸŸ880 5Ÿ+1=58Jadi, bayangan dari titikA(8, –5) adalahA'(5, –8).NotesMatriks refleksi terhadap garis y = x adalah 0110
179Transformasi Bidang DatarContohSoal5.16Koordinat-koordinat titik sudut suatu segitiga ABCadalahA(4, 0),B(6, 3), dan C(1, 4). Tentukan bayangan dari titik-titik tersebut jikadirefleksikan terhadap garisx = –2.Jawab:Diketahuigarisx=a= –2Bayangan ditentukan dengan persamaan refleksigaris x=aberikut.x'=2a–xy' = yPelajarilah contoh soal berikut, agar Anda memahami refleksi beberapa titik yang membentuk bangun datar terhadap garis y = –x.Seperti refleksi pada garis-garis lain, refleksi pada garis y = x juga dapat dilakukan menggunakan matriks. Persamaan transformasi refleksi pada garis y = –x adalah sebagai berikut.x' = –yy' = –xJika persamaan tersebut diuraikan diperolehx' = 0 Ÿ x + (–1) Ÿy y' = (–1) Ÿx + 0 Ÿysehingga diperoleh persamaan matriks berikut.xyxy''=01100110 disebut matriks refleksi terhadap garis y = –x. 5. Refleksi terhadap Garis x = aGaris x = a adalah garis yang sejajar sumbu-y dan berjarak a satuan dari sumbu-y, contohnya x = 2. Pelajarilah uraian berikut agar Anda memahami refleksi terhadap garis x = a.Titik A(-3, 1) direfleksikan terhadap garis x = a diperoleh A'(1, -3) dengan x' = 2a – x dan y' = yGambar 5.18
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi180x0xaax' = a + a – x = 2a – x a – x a – x x'yyA(x, y)x = aA'(x', y')Pada Gambar 5.18, tampak bahwa bayangan dari titik A(x, y) yang direfleksikan terhadap garis x = a adalah sebagai berikut.x' = x + 2(a – x) = x + 2a – 2x = 2a – x Pada titik A(4, 0), x = 4 dan y = 0 diperolehx' = 2a – x = 2 Ÿ (–2) – 4 = –8 y' = y = 0Jadi, bayangan dari A(4, 0) adalah A'(–8, 0)Pada titik B(6, 3), x = 6 dan y = 3, diperolehx' = 2a – x = 2 Ÿ (–2) – 6 = –10 y' = y = 3Jadi, bayangan dari B(6, 3) adalah B'(–10, 3t)Pada titik C(1, 4), x = 1 dan y = 4, diperolehx' = 2a – x = 2 Ÿ (–2) – 1 = –5 y' = y = 4Jadi, bayangan dari C(1, 4) adalah C'(–5, 4).Segitiga ABC dan bayangan A', B', C' yang terbentuk tampak seperti gambar berikut.x101234–2x = –2y23 456–1–3–4–5C'CA'AB'B–6–7–8–9–10Gambar 5.19Segita ABC' direfleksikan terhadap garis x = 2 diperoleh A'B'C'.Gambar 5.20Refleksi titik A(x, y) terhadap garis y = b diperoleh A'(x', y') dengan x' = x dan y' = 2b – y
181Transformasi Bidang Datary' = xsehingga diperoleh A'(2a – x, y).Secara umum, refleksi terhadap garis x = a dapat didefinisikan sebagai berikut.Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis x = a, maka diperoleh bayangan dari A, yaitu A'(x', y'), denganx' = 2a – xy' = y atau dapat ditulis A(x, y) A'(2a – x, y)x = ax' = 2a – x dan y' = y disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis x = a.6. Refleksi terhadap Garis y = bAdapun, garis y = b adalah garis yang sejajar sumbu-x dan bejarak b satuan dari sumbu-x. Perhatikan Gambar 5.20 ContohSoal5.17Koordinat-koordidat titik sudut suatu segiempat ABCD adalahA(3, –1),B(5, 1), C(3, 3), dan D(1, 1). Tentukan bayangan dari titik-titik tersebut jika direfleksikan terhadap garisy= 3.yJawab:Diketahuigarisy=b = 3Bayangan ditentukan dengan persamaan refleksi terhadap garisy= b berikut.x' = xy' = 2b– yPada titikA(3, –1),x = 3 dan y= –1, diperolehx' = x= 3y' = 2b– y = 2Ÿ3 – (–1) = 7Jadi, bayangan dari A(3, 1) adalah A'(3, 7)Pada titikB(5, 1),x= 5 dany = 1 diperolehx' = x = 5y'=2b–y=2Ÿ3 – 1 = 5Jadi, bayangan dari B(5, 1) adalahB'(5, 5)PadatitikC(3, 3), x= 3dan y = 3 diperolehx'=x= 3y' = 2b– y = 2 Ÿ3 – 3 = 3Jadi, bayangan dari C(3, 3) adalahC'(3, 3)Pada titikD(1, 1),x= 1 dany = 1, diperolehx' = x= 1y' = 2b– y = 2Ÿ3 – 1 = 5Jadi, bayangan dari D(1, 1) adalah D'(1, 5).Segiempat ABCDdan bayangannyaA'B'C'D' yang terbentuktampak pada gambar berikut.
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi182C RotasiRotasi (perputaran) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan memutar titik tersebut terhadap titik pusatnya. Untuk mudahnya, bayangkan suatu rotasi pada sebuah roda. Jika pada roda tersebut terdapat titik A, posisi titik A akan berpindah ketika roda tersebut diputar atau dirotasikan terhadap titik pusat roda tersebut. Artinya, titik A berpindah akibat putaran roda. Perhatikan gambar berikut.x12345–1–10y1234D'A'B'C'Cy = 3 DBA567Evaluasi Materi 5.2Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1.Tentukan bayangan dari titikP(2, 5) danQ(-4, 7) yang direfleksikan terhadapa.sumbu-xb.sumbu-y2.Tentukan bayangan dari titik A(5, –3) dan B(–6, 2) yang direfleksikan terhadapa.garis y=xb.garis y=–x3.Tentukan bayangan dari titikS(2, 6) danT(–1, 5) yang direfleksikan terhadapa.garis x= –4b.garis y= 34.Diketahui koordinat-koordinat titik sudutsegiempatABCD adalahA(0, 1),B(6, 1),C(8, 5), dan D(2, 5)a.Tentukan bayangan dari titik-titik suduttersebut jika titik tersebut direfleksikanterhadap sumbu-y.b.Gambarkan segiempat tersebut danbayangannya padabidang koordinatCartesius. (gunakan kertas berpetak)c.Tentukan luas segiempat ABCD.Kata Kunci• rotasi• pusat rotasi• sudut rotasiGambar 5.21Refleksi segiempat ABCD terhadap garis y = 3.
183Transformasi Bidang DatarGambar 5.22 (a) dan (b) menunjukkan suatu rotasi pada titik A pada roda terhadap pusat roda P. Arah rotasi dapat berlawanan dengan arah putaran jarum jam atau searah dengan arah putaran jarum jam. Jika arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam maka dinamakan arah positif (+). Jika arah rotasi searah dengan arah jarum jam maka dinamakan arah negatif (–). Besar sudut rotasi ¾adalah sudut yang terbentuk dari besarnya rotasi yang terjadi. Suatu rotasi R, terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi ¾dinotasikan dengan R [P, ¾].Gambar 5.22Posisi A dan bayangan A' setelah berotasiroda sebelum diputarroda setelah diputar sejauh θ = 45dberlawanan arah dengan arah jarum jamroda setelah diputar setelah θ = 45dsearah dengan arah jarum jamAQPtitik pusat rodaAA'PAOA"PbacContoh Soal 5.18Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama 1 tahun yangdilakukan oleh 7 kantor cabang maka diadakan rapat yang dilakukanmenggunakan meja bundar seperti gambar.Jika kursi A ditempati olehdirektur pemasaran kantor pusat, kemudian kursi B, C, D,E,F, FG, danHditempati olehdirektur pemasaran kantor cabang daerahB,C,D,E,F,FG,dan H. Selanjutnya, jika meja tersebut diputar (dirotasikan) denganrotasi,R= [O, –90 ̊] tentukanlah pasangannomor pada meja dengan huruf pada kursiyang terjadi sebagai hasil rotasi.Jawab:Rotasi yang dinyatakan oleh R = []090,0− berarti rotasi terhadap titik 0 sebesar 900 searah putaran jarum jam, perhatikan gambar berikut.Setelah meja diputar sejauh 900 searahjarum jam maka seluruh titikberputarbersama meja, pada ilustrasi di samping, diperlihatkan titik 1 yang mula-mula berpasangan dengan kursi A berputarsejauh 900 dan menyebabkan titik 1berpasangan dengan kursi C, demikian juga titik 5 yang mula-mula berpasangan ABHGFEDCO18765432AGECO190 ̊90 ̊551
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi184dengan kursi E berputar sejauh 900 dan menyebabkan titik 5 berpasangan dengan kursi GSetelah meja diputar sejauh 900, maka pasangan titik 1,2,3,4,5,6,7, dan 8 pada meja terhadap kursi A, B, C, D, E, F,G, dan H adalah sebagai berikut.ABHGFEDCO76543218Diperoleh, titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 masing-masing berpasangan dengan kursi C, D, E, F, G, H, A, dan B.1. Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0)Misalkan titik A pada roda dipindahkan pada bidang koordinat cartesius, maka koordinat titik A adalah (x, y). Jika titik A(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh ¾ dan bayangan yang dihasilkan adalah A'(x', y'), dapatkah Anda tentukan koordinat (x', y')? Perhatikanlah Gambar 5.23 berikut.A(x, y)x'A'(x', y')y'yyxxOTerdapat hubungan antara x' dan y' dengan x dan y dan sudut putaran ¾, yaitux' = x cos ¾– y sin ¾y' = x sin ¾+ y cos ¾Jika titik A(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh ¾ atau dinotasikan R [O, ¾] maka bayangan dari titik A adalah A'(x', y'), di manax' = x cos ¾– y sin ¾ dan y' = x sin ¾+ y cos ¾atau ditulisA(x, y) ¾ A' (x cos ¾– y sin ¾, x sin ¾+ y cos ¾) Gambar 5.23Titik A(x. y) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh θ berlawanan arah putaran jarumjam.
185Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.19Tentukan bayangan dari titik P(2, 1) jika dirotasikan terhadap:a.R[0, 30°]b.R[0. –30°]Jawab:TitikP(2, 1) maka x= 2 dan y = 1.cos30° =123 , sin 30° = 12, cos(–30°) = 123, sin(–30°) = –12Bayangan titikPditentukan dengan menggunakan persamaantransformasi R [O,]x'=xcos–ysiny'=x sin+ycosa.R[O, 30°] diperolehx' = 2 cos30° – sin 30° = 2 Ÿ123–12=3– 12y' = 2 sin 30° + cos30° = 2Ÿ12+12=3=1+123Jadi, bayangan dari titikP(2, 1) yang dirotasikan sejauh 30°terhadap titik pusatO (0, 0) adalahP'3121123,b.R[O, –30°] diperolehx' = 2 cos (30°) – sin(–30°) = 2Ÿ123–12=312+y' = 2 sin(–30°) + cos(–30°) = 2 Ÿ12+123= –1 +123Jadi, bayangan dari titikP(2, 1) jika dirotasikan sejauh –30° terhadap titik pusatO (0,0) adalah P'3121123++1,.Persamaan x' = x cos ¾– y sin ¾ dan y' = x sin ¾+ y cos ¾disebut persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh ¾ atau R [O, ¾].Gambar 5.24Ayunan adalah contoh tranformasi rotasi.Sumber : ndonetwork.co.idRotasi terhadap titik pusat O(0, 0) dapat pula dinyatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi rotasi berikut.x' = x cos ¾ – y sin ¾y' = x sin ¾+ y cos ¾NotesMatriks rotasi terhadap pusat O(0, 0) adalah cossinsincos
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi186Jika persamaan tersebut diuraikan, diperolehx' = cos ¾Ÿx – sin ¾Ÿyy' = sin ¾Ÿ x + cos ¾Ÿ y maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.xyxy''cossiniisinciios=cossiniisinciios disebut matriks rotasi terhadap titik pusat O(0, 0).Contoh Soal 5.20Dengan menggunakan matriks rotasi, tentukan bayangan dari titikP(5, 5) yang dirotasikan terhadap titik pusatO(0, 0) sejauh 90°.Jawab:Diketahui P(5, 5), makax = 5 dan y= 5.cos 90° = 0 dan sin 90° = 1.maka diperolehxy=cossiniisinciiosxy= cossiniisinciios9090909055dsinii90dcos90=011055=55Jadi, bayangan dari titik P(5, 5) adalah P'(–5, 5).2. Rotasi terhadap Titik Pusat P(a, b)Jika titik P(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat P(a, b) sejauh ¾, maka bayangan dari titik A adalah A'(x', y'), denganx' = a + (x – a)cos ¾– (y – b) sin ¾y' = b + (x – a) sin ¾+ (y – b) cos ¾Persamaan tersebut merupakan persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat (a, b) sejauh ¾pelajarilah contoh soal berikut.Jelajah MatematikaHuruf Braille digunakan oleh para tuna netra untuk membaca. Huruf Braille berupa kode titik 3 yang timbul dan dapat dibaca dengan menyentuhnya. Kode ini digunakan pertama kali oleh siswa tuna netra berusia 15 tahun asal Prancis, yaitu Louise Braille.ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Perhatikan oleh Anda, huruf Braille pada gambar. Huruf E merupakan refleksi dari huruf I. Huruf D merupakan rotasi dari huruf H. Dapatkah Anda menemukan pasangan huruf-huruf lain hasil refleksi dan rotasi pada huruf Braille?Sumber: Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid 1, 1990Sumber: www.accesslinx.com
187Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.21Te n t ukan bayangan dari titikP(3, 3) yang dirotasikan terhadap titikpusatM(1, 1) sejauh 90°.Jawab:DiketahuiP(3, 3) maka x= 3dany = 3.Titikpusat M(1, 1) maka a = 1 danb = 1.cos 90° = 0 dan sin 90° = 1.Bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaanx'=a + (x–a) cos – (y–b) sin y' = b+ (x–a) sin + (y– b) cosmaka diperolehx' = 1 + (3 – 1) cos 90° – (3 – 1) sin 90° = 1 + 2 Ÿ0 – 2Ÿ1=–1y' = 1 + (3 – 1) sin 90° + (3 – 1) cos 90° = 1 + 2 Ÿ1 + 2 Ÿ 0 = 3Jadi, bayangan titik P(3, 3) adalahP'(–1, 3).Evaluasi Materi 5.3Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1.TitikA(3, 4) dirotasikan sejauh 90° terhadaptitik pusat O(0, 0), tentukan bayangannya jikaarah putarannyaa.berlawanan dengan arah putaran jarum jam,b.searah dengan arah putaran jarum jam(sin 90° = 1, cos 90° = 0,sin (–90°) = –1, cos (–90°) = 0).2.Tentukan bayangan dari titik P(4, 4) jika dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0)sejauha.30°c.60°b.45°d.90°(sin 30° = 12, cos 30° = 123, sin 45° = 122, cos 45° =122, sin 60° =123, cos 60° = 12) . 3.Diketahui koordinat-koordinattitik sudutsegitigaABCadalahA(5, –2),B(8, 1),dan C(4, 3). Tentukan bayangan dari titik-titiksudut segitiga tersebut jika dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 90° searahdengan arah putaran jarum jam.4.Tentukan bayangan dari titik P(–4, 3)yang dirotasikan terhadap titik pusatM(–1, –1)sejauh 90°.Gambar 5.25Titik P(3, 3) dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat M(1, 1)P'Px11M23–1–2–323
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi188D DilatasiAnda telah mempelajari tiga jenis transformasi, yaitu translasi, refleksi, dan rotasi. Ketiga jenis transformasi ini termasuk transformasi isometri, yaitu transformasi yang menghasilkan bayangan kongruen (sama ukuran dan sebangun) dengan benda.Sekarang, Anda akan mempelajari transformasi keempat, yaitu dilatasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi tidak termasuk transformasi isometri karena tidak menghasilkan bayangan yang kongruen. Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri yang bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi. Akibatnya, bayangan dari bangun geometri yang didilatasi berubah ukurannya (membesar atau mengecil). Untuk mudahnya, bayangkan bangun yang didilatasi adalah mobil yang sedang melaju ke arah Anda. Dari jauh mobil tampak kecil. Ketika mendekat mobil tampak semakin besar, dan ketika menjauh mobil tampak mengecil kembali. Dilatasi dapat pula dianalogikan dengan mendekatkan suatu objek atau menjauhkan suatu objek dari Anda. Perhatikan Gambar 5.26 berikut.Gambar 5.26Ilustrasi dilatasi pada perpindahan lemariKata Kunci• dilatasi• pusat dilatasi• faktor dilatasi2 mtemboklantaiOtitik pusat dilatasiposisi lemari mula-mula2 mtemboklantaiOposisi lemari setelah dipindahkan sejauh 2 m mendekati orang4 m = 2 ¾ 2 m1 m2 mfaktor dilatasi2 mtemboklantaiO1 m = 12¾ 2 m1 m0,5 mposisi lemari setelah dipindahkan sejauh 1m dari posisi mula-mula menjauhi orangfaktor dilatasibca
189Transformasi Bidang DatarPada gambar (a), posisi lemari sebelum dipindahkan adalah 2 m dari titik pusat dilatasi O, yaitu perpotongan antara tembok dengan lantai. Tinggi lemari mula-mula (menurut orang yang sedang berdiri) adalah 1m.Pada gambar (b), lemari dipindahkan ke arah orang yang sedang berdiri sejauh 2m. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi 4m atau 2 kali posisi mula-mula. Lemari tampak membesar. Tinggi lemari menjadi 2m atau 2 ¾ tinggi mula-mula.4 m = 2 ¾ 2 m2 m = 2 ¾ 1 mfaktor dilatasifaktor dilatasiDengan demikian lemari dikatakan mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor dilatasi 2.Begitu juga ketika lemari dipindahkan ke arah kiri sejauh 1 m dari posisi awalnya. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi 1 m atau 12¾ posisi mula-mula. Lemari tampak mengecil. Tinggi lemari menjadi 0,5 m atau 12¾ tinggi mula-mula.1 m = 12¾ 2 m0,75 m = 12¾ 1 mfaktor dilatasifaktor dilatasiJadi, lemari mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala dilatasi 12 atau ditulis O,12.Apa yang dimaksud dengan faktor dilatasi? Faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak bayangan dari pusat dilatasi dengan jarak titik mula-mula dari titik pusat dilatasi.jarak lemari dari titik O setelah dipindahkanjarak lemari dari titik O mula-mulafaktor dilatasifaktor dilatasi242=mmjarak lemari dari titik O setelah dipindahkanjarak lemari dari titik O mula-mula1212=m11mMisalkan k adalah faktor dilatasi maka berlaku hubungan berikut.t +JLBk >1 maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.t +JLBk < 1 maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.Jelajah MatematikaBeberapa seniman, dalam melukis miniatur bisanya menggunakan Pantograf untuk memberikan rincian yang lebih besar. Pantograf tersebut tersusun atas jajargenjang-jajargenjang yang disambung menyambung. Pada pantograf terdapat suatu titik, yang menentukan apakah gambar akan diperbesar atau diperkecil (dilatasi), atau bahkan dapat dirotasikan.Sumber: www.marquetry.org
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi190t +JLBok < 0 maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.t +JLBk < –1 maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.1. Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0)Telah Anda ketahui, bahwa faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak bayangan dari pusat dilatasi dengan titik mula-mula dari pusat dilatasi. Misalkan k adalah faktor dilatasi, A(x, y) adalah titik yang didilatasikan, dan A'(x', y') adalah bayangan dari A. Jika pusat dilatasi adalah O(0, 0), maka faktor dilatasi k adalah sebagai berikut.Perhatikan Gambar 5.27 berikut.y'yyx'xQA(x, y)A'(x', y')PxOPada Gambar 5.27, tampak segitiga APO dan segitiga A'QO sebangun. Oleh karena kOAOA=' kemudian segitiga APO dan A'QO sebangun maka berlakuOQOPk= atau xxk'= atau x' = kxAQAPk= atau yyk= atau y' = kyJadi, diperoleh bayangan dari A(x, y) adalah A'(kx, ky)Dengan demikian, uraian tersebut memperjelas definisi dilatasi berikut.Jika titik A(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi k, maka bayangan dari A adalah A'(x', y') denganx' = kx y' = kyditulis A(x, y) A'(kx, ky)[O, k]Gambar 5.27Dilatasi titik A(x, y) terhadap titik O(0, 0)kOAOA='
191Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.22Diketahui segitiga ABC dengan koordinat-koordinat titik-titik sudutnya adalahA(–3, –3),B(–1, –3), dan C(–2, –1).Tentukan:a.bayangan dari titik-titik sudutnya jikadilatasi terhadap titik pusatO(0, 0) dengan faktordilatasi –2.b.luas dari bayangan bangun ABC.Jawab:a.Diketahui faktor dilatasi =k = –2.kA(–3, –3),]2A' (–2Ÿ(–3), –2(–3)) = A' (6, 6)B(–1, –3) ,]2B' (–2Ÿ(–1), –2(–3)) = B' (2, 6)C(–2, –1),]2C'(–2 Ÿ(–2), –2(–1)) =C'(4, 2)b.Gambar segitiga ABCdan bayangannya segitigaA'B'C' terlihatpada gambar berikut.x123456–1–2–3–1–2–3CBA0yy123456B'C'A'Pada segitiga A'B'C', panjangA'B' = 6 – 2 = 4 satuan, dan panjangCP= 4 satuan. Luas segitiga A'B'=12A'B'C'CP=1244 = 8satuan.Persamaan x' = kx dan y' = ky disebut persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi k.Sama seperti transformasi sebelumnya, dilatasi juga dapat dilakukan dengan perkalian dua matriks.Perhatikan kembali persamaan dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) berikut.x' = kxy' = kyJika persamaan tersebut diuraikan, diperolehx' = k Ÿx + 0 Ÿ yy' = 0 · x + k · yGambar 5.28Dilatasi segitiga ABC oleh faktor dilatasi –2 terhadap pusat O(0, 0) segitiga A'B'C' diperbesar dan berlawanan arah dengan segitiga ABC.
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi192Contoh Soal 5.23Dengan menggunakan matriks, tentukan bayangan dari titikA(–5, –3)yang dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi 3.Jawab:DiketahuiA(–5, –3) atau x = –5 dan y= –3 dan k = 3.kBayangan ditentukan dengan persamaan matriks berikut.xykkxy''=00maka diperolehxy''=300353=303033ŸŸ50ŸŸ53()55()3()55()3=159Jadi, bayangan dari titikA(–5, –3) adalahA'(–15, –9).NotesMatriks dilatasi adalah kk00dengan k adalah faktor dilatasi2. Dilatasi terhadap Titik Pusat P(a, b)Sebelumnya, Anda telah belajar dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0). Sekarang, Anda pelajari dilatasi terhadap titik pusat P(a, b). Perhatikanlah gambar berikut.yy'byxx – ak(x – a)A'(x', y')A'(x, y)y – bk'(y – b)y = b + k (y – b)x' = a + k(x – a)ax'OPGambar 5.29Titik A(x, y) didilatasi oleh faktor dilatasi k terhadap titik pusat P(a, b)Maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.xykkxy''=00kk00 disebut matriks dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0).
193Transformasi Bidang DatarContoh Soal 5.24Gambarlahbayangan segitigaABCdengan titik-titik sudutnyaA(5, 0),B(6, 2), dan C(3, 3) yang didilatasi terhadap titik pusatdilatasiP(1, 1)dengan faktor dilatasi –2.Jawab:Pertama tentukan terlebih dahulu bayangan dari titik-titik sudutnya.Diketahui titik pusat dilatasi adalahP(1, 1) maka a= 1 dan b = 1.Faktor dilatasi =k= –2.kBayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a,b)x' =a +k(x– a)y' =b+k(y –b)Untuk A(5, 0) makax = 5dan y =0.x' = 1 + (–2)(5 – 1) = 1 + (–8) = –7y' = 1 + (–2)(0 – 1) = 1 + 2 = 3Jadi, bayangan dariA(5, 0) adalahA'(–7, 3).UntukB(6, 2) maka x = 6 dany = 2.x' = 1 + (–2)(6 – 1) = 1 + –10 = –9y' = 1 + (–2)(2 – 1) = 1 + (–2) = –1Jadi, bayangan dariB(6, 2) adalahB'(–9, –1).Untuk C(3, 3) maka x= 3dany = 3.x' = 1 + (–2)(3 – 1) = 1 + (–4) = –3y' = 1 + (–2)(3 – 1) = 1 + (–4) = –3Jadi, bayangan dariC(3, 3) adalah C'(–3, –3).Bangun datar yang terbentuk adalah sebagai berikut.x123PCC'B'A'AB456–32–2–2–3–7–1–30y1233–999Secara umum, definisi dilatasi terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor skala k adalah sebagai berikut.Jika titik A(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor dilatasi k maka bayangan titik A adalah A'(x', y') denganx' = a + k(x – a)y' = b + k(y – b)ditulisA(x, y) A'(a + k(x – a), b+ k(y – b))[P, k]x' = a + k(x – a) dan y' = b + k(y – b) disebut persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b).Gambar 5.30Segitiga ABC dilatasi oleh faktor dilatasi k = 2 terhadap pusat P(1, 1)
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi194Evaluasi Materi 5.4Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1.Tentukan bayangan titik A(4, 5) jikaA didilatasiAoleh:a.(O, 2)c.O,12b.(O, –1)d.(O, –3)2.Diketahui titik-titik sudut segitiga ABC adalahA(2, 1),B(4, 1),danC(3, 3).a.Tentukan bayangan dari titik-titik sudutsegitiga ABC jika didilatasi oleh (O, –3)Ob.Gambarkan segitigaABC dan bayangan-nya pada kertas berpetak.3.JikaP'(8, 4) adalah bayangan dari P(2, 1) yangdidilatasi oleh (O,k), tentukan nilai k.4.TitikQ(5, 7) didilatasi terhadap titik pusatP(3, 3) dengan faktor dilatasi –3. Tentukan:a.bayangan dari titikQ,b.gambarkan titik Qdan bayangannya pada kertas berpetak,Sebuah perusahaan memiliki gudang yang memiliki ukuran panjang dan lebar sebagai berikut.Jika gudang tersebut direnovasi bentuk atau posisinya menjadi persegi panjang A' B' C' D' seperti yang terlihat pada point a), b), dan c) berikut, maka tentukanlah titik pusat dilatasi dan faktor dilatasinya.a) 16 m12 mA = A'CBDD'C'D' b) 8 m8 m6 mDB'A'D'AC = C'B6 mTugasSiswa 8 m6 mDACB
195Transformasi Bidang DatarE Komposisi TransformasiPada subbab-subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari transformasi-transformasi tunggal. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari komposisi transformasi, yaitu transformasi yang dikerjakan dua kali atau lebih secara berurutan. Transformasi T1 yang dilanjutkan dengan transformasi T2 terhadap suatu titik A dapat ditulis (TT21TTTT) (A) ¾ (T2 (A)). Lambang TT21TTTT(dibaca T2 dot T1) menyatakan transformasi T1dikerjakan dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T2. Sebaiknya TT21omenyatakan transformasi T2 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan T1.Untuk lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 5.25 berikut.Contoh Soal 5.25JikaT1adalah translasi terhadap12,T2 adalah refleksi terhadapsumbu-x, danT3 adalah rotasi terhadappusat O(0, 0) sejauh 90° searah jarum jam. Tentukan bayangan titikA(–4, 3) oleh transformasiberikut.a.TT21Tb.TT13TJawab:a.TT21T(A) artinya titikAditranslasikan terhadapT1=12,kemudian dilanjutkan oleh T2, yaitu refleksi terhadap sumbu -x.A(x,y) T1A' (x+a,y+b)A'(x+a,y + b)T2A''(x + a, –(y+ b))A(–4, 3) maka x= –4, y = 3, a= 1, dan b =2Diperoleh,A(–4, 3) maka x= –4,y = 3,a= 1,dan b = 2Jadi, bayangan titik A(–4, 3) olehTT21TadalahA''(–3, 5).b.TT13T(A) artinya titik Aditransformasi oleh T3, yaitu dirotasikanolehR(0, –90°), kemudian dilanjutkan oleh transpormasi olehT1, yaitu translasi terhadap12.cos (–90°) = 0 dan sin (–90°) = 1A(x,y)T3A'(x· 0 –y(–1),x(–1) + y· 0)A'(y,-yyx) T1A'(y+a,–x+b)A(–4, 3) maka x= –4,y = 3,a= 1 dan b = 2DiperolehA(–4, 3)TT13TTTTTA''(3 + 1, –(–4) + 2)Kata Kunci• komposisi
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi196Selain dengan cara seperti pada contoh soal 5.26 komposisi transformasi juga dapat dilakukan dengan menggunakan perkalian matriks yang sesuai dengan transformasi yang ditanyakan. Sebelumnya lakukanlah kegiatan berikut.Kegiatan SiswaBayangan titik A(4, 1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah ....a. A''(8, 5)b. A''(10, 1)c. A''(8, 1)d. A''(4, 5)e. A''(20, 2)JawabA(x, y) ¾A''(2(n – m)+ x, y)A(4, 1) ¾A''(2(5 – 2)+ 4, 1)Jadi, bayangan titik A adalah A'' adalah A''(10, 1)Jawaban: bUN SMK,2004Solusi CerdasT2oT1atauT1oT2 dan Matriks TransformasiM1dan M2.Langkah Kerja:1.Misalkan sebuah titik sembarang (x((,y) akan ditransformasikan yyoleh transformasi T1dahulu kemudian dilanjutkan dengantransformasiT2. Misalkan, matriks transformasi T1dan T2yaituM1dan M2memiliki bentuk umumM1=abcddanM2=pqrs2.Tentukan hasil transformasi (x,y) oleh T1.xyMxy''M1Kemudian, lanjutkan dengan transformasi T2.xyMxyxy''''''M2...(*)Dalam persamaan (*). Anda telah memperoleh matriks komposisi transformasi dari  TT21T, yaitu TT21T...(**)3.Untuk melihat kaitan matriks  TT21Tdengan matriksM1danM2, coba Anda lakukan perkalianM1M2danM2M1.M1M2=abcdpqrs...(***)M2M1=pqrsabcd...(****)Analisis:Perhatikan matriks komposisi transformasiTT21Tdalam (**)dan perkalian matriks transformasiM1M2danM2M1. Kemudian,nyatakan persamaan yang menghubungkan TT21TdenganM1
197Transformasi Bidang Datar Jika T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks M1 = aa11aa12aa2122dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks M2 = bbbb11bb12bb21bb22bbmaka komposisi transformasi sebagai berikut.tTT12TTTT bersesuaian dengan perkalian matriks M1 · M2 = aaaabbbb11aa12aa212211bb12bb21bb22bbt TT21obersesuaian dengan perkalian matriks M2 · M1 = bbbbaaaa11 1221 2211 1221 22Pada subbab-subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari matriks-matriks yang mewakili suatu transformasi untuk mengingatkan Anda, berikut adalah tabel matriks-matriks yang mewakili suatu transformasi.NoJenis TransformasiPemetaanMatriks1.2.3.4TranslasiRefleksitUFSIBEBQTVNCVxtUFSIBEBQTVNCVytUFSIBEBQgaris y = xtUFSIBEBQgaris y = -xRotasit<O, 90°]t<O, -90°]t<O. 180°]Dilatasi[O, k]A(x, y) ¾ A'(x + a, y + b)A(x, y) ¾A'(x, –y)A(x, y) ¾A'(–x, y)A(x, y) ¾A'(y, x)A(x, y) ¾A'(–x,–y)A(x, y) ¾A'(–y, x)A(x, y) ¾A'(y, –x)A(x, y) ¾A'(–x, –y)A(x, y) ¾A'(ky, ky)[a b]1001100101100110011001101001kook
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi198Pelajarilah Contoh Soal 5.26 berikut, agar Anda dapat meng-komposisikan transformasi dengan menggunakan matriks.Contoh Soal 5.26JikaM adalah pencerminan terhadap sumbu-x, Radalah rotasi oleh(0, 90°). Tentukan bayangan titikA(6, –2) jika ditransformasikanoleh MRo(A)Jawab:Matriks Mdan R yang bersesuain adalahM=1001dan R=0110sehingga diperolehMRo(A)=M·R.(A)=1001·011062=011062=62Jadi,A(6, –2)MRoRRA'(2, –6).Evaluasi Materi 5.5Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1.Diketahui T1 adalah translasi terhadap42.dan T2 adalah translasi terhadap07. Tentukan bayangan titik A(1, -8) olehtransformasi:77a.TT12T()AAb.TT21T()AA2.JikaT1adalah refleksi terhadapgarisy = 4, yT2 adalah rotasi terhadap [O, 180°],danT3adalahdilatasi [O, 2], tentukan bayangan titik OA(–2, –4) oleh transformasi: a.TT12T()AAc.TT31T()AAb.TT23T()AAd.TTT123oT2T()AA3.Diketahui Madalah pencerminan terhadap garis y=yx danxD adalahdilatasiO,12. Tentukanbayangan titikP(7, -2) jika ditransformasikan
199Transformasi Bidang DatarTransformasi geometri adalah suatu aturan yang menghubungkan suatu titik ke titik lain pada bidang geometri. Transformasi geometri juga merupakan suatu aturan yang memindahkan suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain dengan tidak mengubah bentuk bangun tersebut.Translasi (pergeseran) adalah suatu trans-formasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri sepanjang garis lurus dengan jarak dan arah tertentu. Jika titik A(x, y) ditranslasikan oleh translasi T = b maka diperoleh bayangan dari A, yaitu A'(x + a, y + b). Refleksi (pencerminan) adalah suatu trans-formasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat objek dan bayangannya pada cermin datar. Jika A(x, y) direfleksikan terhadap sumbu-x, maka diperoleh bayangannya, yaitu A'(x, –y). Matriks refleksi terhadap sumbu-x adalah 1001. Jika A(x, y) direfleksikan terhadap sumbu-y, maka bayangannya adalah A'(–x, y). Matriks refleksi terhadap sumbu-y adalah 1001. Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = x, maka bayangan dari A adalah A'(y, x). Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah 0110. Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = –x, maka bayangan dari A adalah A'(–y, –x). Matriks refleksi terhadap garis y = –x adalah 0110. Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis x = a, maka bayangan dari A adalah A'(2a – x, y) . Jika A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = b maka bayangan dari A adalah A'(x, 2b – x).Rotasi (perputaran) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan memutar titik tersebut terhadap titik pusatnya. Jika titik A(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh ¾, maka bayangan dari titik A adalah A'(x cos ¾ – y sin¾, x sin ¾+ y cos ¾) . Jika titik A(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat P(a, b) Sejauh ¾, maka bayangan dari titik A adalah A'(x', y'), denganx' = a + (x – a) cos ¾– (y – b) sin ¾y' = b + (x – a) sin ¾+ (y – b) cos ¾Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri yang ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor skala dilatasi. Jika titik A(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi k maka bayangan dari A adalah A'(kx, ky). Matriks dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) adalah kk00. Jika titik A(x, y) didilatasikan terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor dilatasi k maka bayangan dari A adalahA'(a + k(x – a), b + k(y – b)).Ringkasan
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi200I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.Tuliskan jawabannya di buku latihan Anda.1.Bayangan dari titikA(4, –5) yang ditrans-lasikan oleh T=T31adalah ....a.A'(–1, –6)d.A'(7, 4)b.A'(1, –6)e.A'(7, 6)c.A'(7, –6)2.Bayangan dari titikB(–5,2) yang ditrans-lasikan olehT=T46adalah ....a.B'(9, 6)d.B'(–1, –4)b.B'(1, –4)e.B'(–9, –8)c.B'(–1, 4)3.TranslasiT=T51memetakan titikA(–6, 8) ke titik ....a.A'(–11, 9)d.A'(–1, 7)b.A'(11, 9)e.A'(1, 7)c.A'(–11, 7)4.T=abdanA(5,8) abA'(3,4).adanbadalah....a.8 dan 12d.–2 dan –4b.2dan 4e.11 dan 9c.–8 dan –125.Perhatikan gambar berikutCBA145xBB'A'C'y–10–412256Translasi yang memetakan segitiga ABCkesegitigaA'B'C'adalah....a.T=T11d.T=T51b.T=T41e.T=T51c.T =T146.Perhatikan gambar berikut.CBA26xyD140JikatitikA direfleksikan terhadap sumbu-xmaka bayangan dariAadalah ....a.A'(2, 0)d.A'(1, –1)b.A'(0, 1)e.A'(2, –1)c.A'(–1, 1)7.Jika titikB pada gambar no.6 direfleksikan terhadap sumbu-ymaka bayangan dariBadalah ....a.B'(2, 1)d.B'(2, 4)b.B'(0, 1)e.B'(–6, 4)c.B'(–6, 1)8.A(–3, 4)yxyyA'(x', y') makax' dany'adalah ....a.–3dan –4d.4 dan 3b.–4 dan –3e.3 dan 4c.4dan –39.P(2, 1) yxyyp'(x', y') maka (x', y') adalah....a.(1, 2)d.(1, –2)b.(–1, –2)e.(–2, –1)c.(–1, 2)Evaluasi Materi Bab 5
201Transformasi Bidang Datar10. Perhatikan gambar berikutCBA3xy0–3–5–2Jika titik C direfleksikan terhadap garis y = 1 maka bayangan dari C adalah ....a. C'(–2, 0) d. C'(–2, –3)b. C'(–2, –1) e. C'(–2, –4) c. C'(–2, –2) 11. Jika B pada gambar nomor 10 direfleksikan pada garis x = –4, maka bayangan dari B adalah ....a. B'(–6, –3) d. B'(–3, –3)b. B'(–5, –3) e. B'(–2, –3) c. B'(–4, –3) 12. P(–2, 3) [0,4] P' (x', y'). Maka x' dan y' adalah ....a. 2 dan –3 d. 8 dan 12 b. 3 dan –2 e. –8 dan 12c. –4 dan 6 13. Perhatikan gambar berikut–2–3–5235xy14CAB–40–1C'A'B'Segitiga A'B'C' adalah bayangan dari segitiga ABC yang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi O(0, 0) dengan faktor dilatasi .... a. 2 d. –1 b. 1 e. –2 c. 0 14. Jika titik C' pada gambar no. 13 dirotasikan ter hadap titik pusat O(0, 0) sejauh 90°jika maka bayangan dari titik C' adalah ... (cos 90° = 0, sin 90° = 1)a. C"(4, –3) d. C"(–4, –3) b. C"(4, 3) e. C"(3, 4) c. C"(–4, 3) 15. Perhatikan gambar berikutpp'xy0–4212 4Berdasarkan gambar tersebut, pernyataan dibawah ini yang benar adalaha. p' adalah bayangan dari p oleh rotasi sejauh 90° berlawanan arah dengan arah jarum jam terhadap titik O(0, 0).b. p' adalah bayangan dari p oleh rotasi sejauh 90° searah dengan arah jarum jam terhadap titik O(0, 0).c. p' adalah bayangan dari p oleh rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 45°.d. p' adalah bayangan dari p oleh rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh –45°.e. Tidak ada yang benar.
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi202II. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Tentukan tranlasi yang memetakan segitiga ABC ke segitiga A'B'C' berikut.145xy01256C'(11,6)A'(7,5)B'(10,2)1110–3B(4,–3)A(1,0)C(5,1)2. Diketahui Koordinat titik-titik sudut segi-empat ABCD adalah A(0, 2), B(4, 2), C(6, 5), dan D(2, 5).a. Tentukan bayangan dari koordinat titik-titik sudut segiempat ABCD jika ditranslasikan oleh T = 24. b. Tentukan luas segiempat tersebut.3. Tentukan bayangan dari titik A(2, 5) jika direfleksikan terhadap: a. garis x = 6b. garis y = –2 4. Diketahui koordinat-koordinat titik sudut se-gi empat ABCD adalah A(–5, –5), B(–1, –5), C(–1, –1), dan D(–5, –1)a. Tentukan bayangan dari titik-titik sudut segiempat ABCD jika didilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi –2.b. Hitunglah masing-masing luas segi-empat ABCD dan bayangannya.5. Diketahui koordinat-koordinat titik sudut segitiga ABC adalah A(3, 3), B(.7,3), dan C(5,6). Tentukan bayangan dari titik-titik sudut ABC jika di rotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 60°. (cos 60° = 12, sin 60° = 123)Pilihan KarirReporter adalah salah satu jenis jabatan kewartawanan yang bertugas melakukan peliputan berita (news gathering) di lapangan dan melaporkannya kepada publik, baik dalam bentuk tulisan untuk media cetak atau dalam situs berita di internet, atau secara lisan, jika laporannya disampaikan melalui media elektronik radio atau televisi. Hasil kerja reporter, baik merupakan naskah tulisan ataupun lisan, umumnya harus melalui penyuntingan redaktur atau produser berita sebelum bisa disiarkan kepada publik
203Evaluasi Semester 2Kerjakan di buku latihan Anda.I. Pilihlah satu jawaban yang tepat.1. Barisan bilangan berikut yang bukan me­rupa kan barisan aritmetika adalah ....a. 0, 1, 2, 3, 4, ...b. –4, –2, 0, 2, 4, ...c. 10, 15, 20, 25, 30, ...d. 1, 2, 4, 8, 16, ...e. 30, 27, 24, 21, 18, ...2. Suku ke­10 pada barisan bilangan 3, 5, 7, 9, 11, ... adalah ....a. 17 d. 21b. 19 e. 22c. 20 3. Pada suatu barisan aritmetika, diketahui suku pertamanya adalah 5 dan bedanya adalah 3, Suku ketujuh dari barisan tersebut adalah ....a. 20 d. 29b. 23 e. 32c. 264. Diketahui –3, 2, 3, 12, ...Suku ke­n pada barisan tersebut adalaah Umaka n adalah ....a. 10 d. 13b. 11 e. 14c. 125. Pada suatu deret aritmetika, diketahui suku pertamanya 12 dan bedanya –2. Jumlah 6 suku pertamanya adalah ....a. 10 d. 7b. 9 e. 6 c. 86. Diketahui suatu deret: (–7) + (–3) + 1 + 5 + ...Nilai dari S12 = ...a. 100 d. 210b. 150 e. 300c. 180 7. Pada suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiganya adalah 7 dan suku keenamnya ada-lah 19. Suku keempat dari barisan tersebut adalah ....a. 50 d. 53b. 51 e. 54c. 52 8. Pada suatu deret aritmetika, diketahui suku keduanya adalah 9 dan suku keempatnya adalah 3. Jumlah sepuluh suku pertama pada barisan tersebut adalah ....a. 10 d. –10b. 5 e. –15c. 0 9. Jumlah 4 suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 32 dan jumlah 6 suku pertamanya adalah 72. Jumlah 11 suku pertamanya adalah .... a. 142 d. 242b. 200 e. 310c. 22210. Pada barisan bilangan berikut yang merupa-kan barisan geometri adalah ....a. –3, –2, –1, 0, 1, ...b. 2, 212, 3, 312, 4, ...c. 0, 5, 10, 15, 20, ...d. 1, 3, 9, 27, 81, ...e. 12, 1, 2, 4, 8, ...11. Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 3 dan rasionya adalah 2. Suku kelima­nya adalah ....a. 96 d. 12b. 48 e. 10c. 24Evaluasi Semester 2
204Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi12. Diketahui suatu barisan: 16, 8, 4, 2, ...Suku ke­8 dari barisan tersebut adalah ....a. 12b. 14c. 18d. 116e. 13213. Pada suatu deret geometri diketahui U1 = 3 dan U5 = 48. Nilai dari U7 adalah ....a. 192 d. 186b. 190 e. 188c. 18414. Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 6 dan rasionya adalah 2. Jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah ....a. 358 d. 388b. 368 e. 398c. 378 15. Pada suatu deret geomteri, diketahui suku keduanya sama dengan 8 dan suku keempat­nya sama dengan 32. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ....a. 1000 d. 2048b. 2050 e. 1020c. 52216. Ciri­ciri sebuah bangun datar adalah mempu­nyai empat titik sudut, keempat sisinya sama panjang, diagonalnya saling tegak lurus, dua pasang sisinya sejajar, sudutnya tidak ada yang siku­siku. Bangun tersebut adalah ....a. persegib. persegipanjangc. segitigad. belahketupate. trapesium17. Perhatikan gambar berikut.DAPBC15 cm6 cmLuas bangun ABCD adalah ... cm2.a. 80 d. 68b. 72 e. 54c. 4518. Perhatikan gambar berikut.DABC2y cm2x cmPada persegipanjang ABCD tersebut, mem­punyai keliling 28 cm dan luas 48 cm2. Nilai x dan y adalah ... cma. 4 dan 4 d. 4 dan 3b. 3 dan 3 e. 2 dan 3c. 3 dan 419. Diketahui luas layang­layang adalah 24 cm2. Panjang salah satu diagonalnya adalah 6 cm. Panjang diagonal yang lain adalah ....a. 6 cm d. 9b. 7 cm e. 10 cmc. 8 cm20. Perhatikan gambar berikut.DABC3a6Luas bangun tersebut adalah 27 satuan luas. Nilai a adalah ....a. 6 d. 3b. 5 e. 2c. 4
205Evaluasi Semester 221. Diketahui titik A(4, –5) ditranslasikan oleh T = 82. Bayangan dari A adalah ....a. A'(–4, –3) d. A'(12, 7)b. A'(–4, 3) e. (–12, 7)c. A'(4, 3)22. Titik P(–5, –2) direfleksikan terhadap sum­bu­y. koordinat bayangannya adalah ....a. P'(–5, 2) d. P'(–5, –4)b. P'(5, –2) e. P'(–5, 4)c. P'(5, 2)23. Bayangan dari titik A(–6, 5) yang ditranlasi­kan oleh T = ab adalah A'(2, 4). Nilai a dan b masing­masing adalah ....a. 4 dan 1 d. –8 dan –1b. 4 dan –1 e. –8 dan –1c. 8 dan 124. Bayangan dari suatu titik yang direfleksikan terhadap garis y = –x adalah (–3, 4). Titik yang direfleksikan tersebut adalah ....a. (3, 4) d. (4, –3) b. (–3, –4) e. (–4, 3)c. (3, –4)25. Titik A(2, 3) didilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi –3. Bayangan dari A adalah ....a. A'(6, 9) d. A'(–9, –6)b. A'(–6, –9) e. A'(9, –6)c. A'(9, 6)II. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Diketahui suatu barisan sebagai berikut: –4, 1, 6, 11, 16, ...Tentukan:a. U10c. U25b. U15d. U312. Pada suatu deret aritmetika, diketahui suku keempatnya adalah 11 dan suku keenamnya adalah 5. Tentukan:a. S6 c. S12 b. S10d. S153. Jumlah penduduk sebuah kota setiap sepu­luh tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2010 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Tentukan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 1960.4. Perhatikanlah gambar berikut.DABC2a + 2b2a + 3bDiketahui persegipanjang ABCD tersebut mempunyai luas 120 cm2 dan keliling 44 m. Tentukan nilai a dan b.5. Diketahui koordinat­koordinat titik sudut segitiga ABC adalah A(–5, –3), B(–2, 0), dan C(–4, 4). Jika titik­titik tersebut didilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi –3, tentukan koordinat titik­titik sudut bayangan segitiga itu.
206Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan AkuntansiTugas Observasi Semester 2Materi Pokok: Barisan dan Deret BilanganKunjungilah sebuah bank tersebut di Kota Anda. Kumpulkanlah data­data yang diperlukan berikut.1. Besar bunga deposito per tahun : .................%2. Besar deposito minimum : Rp............3. Dengan deposito minimum, hitunglah besar deposito setipa bulannya selama 2 tahun, kemudian susunlah dalam tabel berikut. Bulan Ke­Besar Deposito (Rp)1.2.......24....................4. Perhatikan, apakah besar deposito setiap bulannya membentuk suatu deret? Jika ya, tentukan deret yang terbentuk.5. Dari deret yang terbentuk, tentukan suku awal dan rasio deret tersebut.6. Tentukan besar deposito itu setelah 3,5 tahun.
207Evaluasi Akhir TahunKerjakan di buku latihan Anda.I. Pilihlah satu jawaban yang tepat.1. Ingkaran dari "Semua atlet berbadan kekar" adalah ....a. Semua atlet tidak berbadan besarb. Ada atlet yang berbadan kekarc. Tidak semua atlet kurusd. Ada atlet yang tidak berbadan kekare. Semua atlet kurus2. Jika diketahui p benar dan q salah, pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ....a. p⁄ ~qb. pŸ ~qc. ~(pŸ q)d. p⁄ ~qe. (pŸq) ⁄ ~p3. Diketahui p salah, q benar, dan r salah. Pernyataan berikut yang bernilai salah adalah .... a. pŸ rb. (~pŸ q) Ÿ ~rc. p Ÿ (q⁄ r) d. (~pŸ q) Ÿ ~qe. (r⁄p) Ÿ ~q4. Pernyataan "Jika rajin berolah raga maka badan sehat" ekuivalen dengan ....a. Jika badan tidak sehat maka tidak rajin berolah raga b. Jika tidak rajin berolahraga maka badan tidak sehat c. Jika badan sehat maka rajin berolah-ragad. Rajin berolahraga atau badan sehate. Tidak rajin berolahraga dan badan sehat 5. Argumen-argumen berikut sah, kecuali ....a. p fi qpfi qd. p fi fiq~pfifiqb. p fi q~pfi ~qe. ~q fi fip pfi qc. p fi fiq~p fi rfip fi r6. Argumen berikut yang memenuhi modus tollens adalah ....a. p fi q~p fi rfip fi rd. ~p fi q~p fi rfifip fi rb. p fi q~pfiqe. ~p fi q~qfifipc. p fi q~pfip7. Fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi linear, kecuali .... a. f(x) = 5x – 10b. f(x) = x32c. f(x) = xd. f(x) = f(x) = 2 log x + 3e. 2f(x) = 4x + 78. Jika f(x) = 6x + 7 maka f(–3) = ....a. 21 d. 24b. 22 e. 25c. 239. Diketahui suatu fungsi f(x) = a + b. Jika f(0) = 4 dan f(1) = 6, maka fungsi tersebut adalah .... a. f(x) = 2x + 2 b. f(x) = x + 4 Evaluasi Akhir Tahun
208Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansic. f(x) = 2x + 4d. f(x) = 3x + 1e. f(x) = 4x + 210. Diketahui suatu fungsi f(x) = 4x – b. Jika f(2) = 1 maka nilai b adalah ....a. 7 d. 10b. 8 e. 11c. 911. Diketahui suatu fungsi f(x) = ax – 3. Jika f(2) = 0 maka nilai a adalah .... a. 13d. 32b. 23e. 23c. 1212. Diketahui f(x) = x2 + 5, Nilai f(2) = ....a. 7 d. 10b. 8 e. 11c. 913. Grafik fungsi f(x) = x2 – 5x memotong sumbu-x di titik .... a. (0, 0) dan (5, 0)b. (0, 0) dan (–5, 0)c. (0, 0) dan (0, 5)d. (0, 0) dan (0, –5)e. (5, 0) dan (0, 5)14. Grafik fungsi f(x) = 2x2 + 3x – 1 memotong sumbu-y di titik ....a. (1, 0) d. (0, 1)b. (–1, 0) e. (1, 1)c. (0, –1) 15. Sumbu simetri dari grafik f(x) = x2 – 3x + 2 adalah .... a. 32d. 92b. 52e. 112c. 7216. Nilai maksimun untuk fungsi f(x) = 3 – 2x – x2 adalah ....a. 1b. 2c. 3d. 4e. 517. Suku ke-8 dari barisan –3, –1, 1, 3, 5, ... adalah ....a. 10b. 11c. 12d. 13e. 14 18. Diketahui pada suatu barisan aritmetika, suku pertamanya adalah 6 dan bedanya ada-lah 4 Suku kesebelas pada barisan tersebut adalah ....a. 42 d. 45b. 43 e. 46c. 4419. Pada suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiganya adalah 13 dan suku kelimanya adalah 21 maka suku pertama dan beda dari barisan tersebut adalah .... a. 5 dan 4 d. 4 dan 4b. 5 dan 5 e. 4 dan 3c. 4 dan 520. Pada suatu deret aritmetika, diketahui suku pertamanya 12 dan bedanya adalah 3. Jum-lah delapan suku pertamanya adalah .... a. 120 d. 144b. 136 e. 148c. 14021. Suatu deret aritmetika mempunyai suku pertama 5 dan beda 3. Jika jumlah n suku pertamanya adalah 549 maka n adalah ....a. 17 d. 20b. 18 e. 21c. 19
209Evaluasi Akhir Tahun22. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 2. Beda barisan tersebut adalah 2. Suku ke-lima dari barisan tersebut adalah .... a. 8 d. 64b. 16 e. 128c. 3223. Diketahui suatu deret geometri 8, 4, 2, 1, ...Suku keenam dari barisan tersebut adalah ....a. 12d. 116b. 14e. 132c. 1824. Pada suku barisan geometri, suku ketig-anya adalah 59 dan suku keduanya 59. Rasio barisan tersebut adalah .... a. 3 d. 12b. 2 e. 13c. 125. Suatu deret geometri mempunyai suku pertama 12dan rasio 2. Jumlah enam suku pertamanya adalah .... a. 31 d. 3212b. 3112e. 33c. 3226. Diketahui suatu deret 128, 64, 32, 16, 8, ...Jumlah sepuluh suku pertamanya adalah ....a. 240 d. 250 b. 245 e. 255c. 246 27. Perhatikan gambar bangun berikut.10DA63C5BLuas bangun ABCD tersebut adalah ....a. 50 d. 20b. 30 e. 18c. 2428. Perhatikan gambar berikutSPQ24RbJika keliling PQRS tersebut adalah 20 dan luasnya 24 maka nilai a dan b adalah ....a. 3 dan 3 d. 4 dan 3b. 3 dan 4 e. 2 dan 4c. 4 dan 429. Titik A(2, 5) ditranslasikan oleh T = 52. Bayangannya titik A adalah ....a. A'(7, 7) d. A'(5, 5)b. A'(3, 3) e. A'(2, 2)c. A'(5, 2)30. Bayangan dari titik P(1, 3) yang diranslasi-kan oleh T adalah (–3, 8). Translasi T adalah ....a. T = 25d. T = 45b. T = 25e. T = –45c. T = 411
210Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan AkuntansiII. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Diberikan pernyataan: "Jika terjadi pemanasan global maka suhu udara akan naik."Ternyata suhu udara tidak naik. Tentukan kesimpulannya sehingga diperoleh argumen yang sah.2. Pak Bayu mengangsur sebuah televisi seharga Rp880.000,00. Pak Bayu meng-angsur berturut-turut setiap bulan sebesar Rp25.000,00; Rp27.000,00; Rp29.000,00; dan seterusnya. Dalam berapa bulan angsuran Pak Bayu akan lunas?3. Diketahui fungsi f(x) = 8x –3. Tentukan:a. f(2)c. f(5)b. f(3) d. f(10)4. Diketahui fungsi f(x) = 3x2 – 4x + 1. Tentu-kan: a. sumbu simetrinyab. titik minimumnyac. titik potong terhadap sumbu-xd. titik potong terhadap sumbu-y5. Diketahui suatu titik A(2, 5). Tentukan bayangan titik A jika:a. ditranslasikan oleh T = –61b. direfleksikan terhadap sumbu-yc. direfleksikan terhadap sumbu-xd. direfleksikan terhadap x = 3
211Logika MatematikaBab 1Logika MatematikaI. 1. c 9. a 3. d 11. a 5. e 13. b 7. a 15. c II. 1. a. Benarb. Benarc. Benar3. Kucing bukan ikan5. Jika 6 bilangan kompositmaka 6 bilangan rasionalBab 2Relasi dan FungsiI. 1. d 11. b 3. b 13. a 5. c 15. a 7. b 17. b9. d 19. c II. 1. 246123453. 4.0001 0 y x 2 3 4 5 8.00012.00016.0005. 40-4y x Evaluasi Semester 1I. 1. d 9. b 19. a 3. c 11. a 21. b 5. d 13. e 23. d 7. c 15. b 25. aII. 1. • Invers: jika seseorang tidak mau berusaha maka ia tidak akan berhasil. • Konvers: jika seseorang berhasil maka ia mau berusaha keras. • Kontraposisi: jika seseorang tidak berhasil maka ia tidak berusaha keras.3. a. –9b. 33Bab 3Barisan dan Deret BilanganI. 1. c 9. c 3. a 11. d 5. d 13. d 7. a 15. b II. 1. Rp1.200.000,003. Rp1.017.000,005. r=45Bab 4Geometri Dimesi DuaI. 1. e 9. a 3. c 11. e 5. b 13. d 7. a 15. a II. 1. a. 90º3. a. 630º5. a. 0,8 mBab 5Transformasi GeometriI. 1. b 9. b 3. a 11. a 5. e 13. d 7. c 15. a II. 1. T653. a. A' (10,5)5. A' , 3232232232C' , 52522323B' , 7272232232Evaluasi Semester 2I. 1. d 9. d 17. b 3. b 11. b 19. c 5. c 13. a 7. b 15. e II. 1. a. 41b. 1463. 100.000 jiwa5. A' (15,9)B' (6,0)C' (12,–12)Evaluasi Akhir TahunI. 1. d 9. c 17. b 25. b 3. d 11. d 19. a 27. a 5. d 13. a 21. b 29. d 7. d 15. a 23. bII. 1. a. Tidak terjadi pemanasan global3. a. 13c. 375. a. A' (–4,6)c. A' (2,–5)Kunci Jawaban
212Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAKRumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan AkuntansiAArgumen: rangkaian premis-premis dan ke -simpulannya.BBangun datar: bangun yang dibuat pada permukaan datar.Barisan aritmetika: barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih yang tetap.Bidang: permukaan yang rata dan tentu batasnya.Biimplikasi: pernyataan majemuk yang meng-gunakan kata hubung jika dan hanya jika.Bilangan ganjil: bilangan bulat yang bila dibagi dua selalu bersisa.Bilangan genap: bilangan bulat yang habis dibagi dua.Belahketupat: jajargenjang yang semua sisi-sisinya sama panjang.Busur: garis lengkung yang dapat membentuk lingkaran.DDisjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”.Domain: daerah pusatDiagram: gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan sesuatu.Derajat: satuan ukuran sudutDetik: ukuran satuan waktuDiagonal: garis yang ditarik dari titik sudut ke titik sudut yang tidak bersisihan.Diameter: garis tengah lingkaranDilatasi: transformasi yang mengubah ukuran tapi tidak mengubah bentuk.EEkuivalen: mempunyai nilai yang sama, seharga, atau sebanding. FFungsi: besaran yang berhubungan, jika besaran yang satu berubah, besaran yang lain juga berubah.GGaris: deretan titik-titik yang saling ber -hubungan.Gradien: koefisien arah suatu garis lurus.HHimpunan: kumpulan benda-benda baik yang jelas maupun yang tidak jelas.IIngkaran: pernyataan yang nilai kebenarannya me rupakan lawan dari pernyataan semula.Invers: kebalikanImplikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung jika ... maka ....JJarak: ruang sela antara dua benda atau tempat.Jajargenjang: bangun datar bersegi empat, sisi-sisinya yang berhadapan sejajar dan sama panjang.Jari-jari: jarak titik-titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran.Juring: daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur yang diapit oleh kedua jari-jari tersebut.Daftar Istilah
213Daftar IstilahKKalimat terbuka: kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.Keliling: garis yang membatasi suatu bidang.Kodomain: daerah kawanKonjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai kata hubung "dan".Konklusi: simpulan pendapatKuantor: pernyataan yang menggunakan kata semua atau beberapa.LLayang-layang: segiempat yang sepasang sisi-sisinya yang berdekatan sama panjang.Linear: berbentuk garis lurus.Lingkaran: lengkung tertutup yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu.Logika: pengetahuan tentang kaidah berpikir.Luas: ukuran panjang lebarnya bidang.MMaksimum: paling banyak (besar).Menit: satuan ukuran waktu yang lamanya 160jam.Minimum: paling sedikit(kecil).Model: contoh sederhanaModus ponens: penarikan simpulan berdasarkan premis pq dan p yang menghasilkan q.Modus tollens: penarikan simpulan ber dasarkan premis pq dan p yang menghasilkan ~q.NNegasi: Lawan atau pernyataan penyangkalan, peniadaan.PParabola: garis lengkung datar yang terbentuk jika suatu bidang memotong kerucut sejajar dengan garis titik sudut puncak dengan salah satu titik pada bidang alas.Persegi: bangun datar berbentuk segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku.Persegipanjang : bangun datar yang memeiliki empat buah sisi dengan sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar dan keempat sudutnya siku-siku.Premis: kalimat atau proposisi yang dijadikan dasar penarikan kesimpulan dalam logika.Probabilitas: kemungkinan tingkat kejadian suatu peristiwa.RRadian: satuan ukuran sudut dalam lingkaran.Range: daerah hasilRefleksi: menukar kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom.Relasi: hubunganRotasi: suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh ° ter hadap suatu titik pusat rotasi.SSegitiga: bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan membentuk sudut.Silogisme: bentuk, cara berpikir atau menarik simpulan yang terdiri atas premis umum, premis khusus, dan simpilan.Simetri: seimbang, selaras, membagi 2 bagian menjadi sama besar.Sketsa: gambar, rancangan, denah, bagan.Suku: bilangan yang menjadi bagian dari perbandingan atau jajaran bilangan.Sumbu: garis mendatar yang berpotongan tegak lurus dengan garis lain pada suatu bidang.
214Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAKRumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan AkuntansiTTali busur: garis di dalam lingk aran yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.Tembereng: daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur dihadapan tali busur tersebut.Teori: pendapat yang didasarkan pada penelitian dan penemuan, didukung oleh data dan argumen-tasi.Transformasi : suatu cara untuk memindahkan/memetakan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang.Translasi: suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.VVariabel: peubah, diberikan persamaan x + 2 = 5, x dalam persamaan ini disebut variabel.
215Logika MatematikaIndeksAAktivalancar 134tetap 156, 134, 135, 136, 137, 141, 143, 146, 147, 151, 153, 155Angsuran 155, 101, 116, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 141, 142, 143, 146, 147, 148, 151, 153, 155Aturan perkalian 6Bbangun datar 105, 115, 116, 117, 119, 121, 124, 134, 120, 139, 160, 139, 188, 196, 197barisan aritmetika 81, 87, 90, 88, 90, 92, 102, 93, 88, 101, 89, 187, 192belahketupat 126, 127, 128, 104, 129, 138, 134, 128, 115, 127, 129, 126, 154, 188bidang 55, 56, 60, 62, 66, 68, 70, 75, 128, 129, 132, 129, 105, 119, 138, 142, 144, 139, 140, 144, 146, 147, 149, 157, 148, 149, 154, 167, 139, 146, 166, 183, 197, 198biimplikasi 2, 8, 11, 19, 20, 21, 25, 20bilangan ganjil 7, 39, 41, 42bilangan genap 17, 19, 29, 16, 39, 42busur 196, 198Dderajat 108, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 115, 137detik 67, 110, 111, 135, 137, 112diagonal 116, 128, 130, 129, 136, 138, 134, 131, 135, 115, 116, 129, 130, 158, 188diagram 11, 28, 29, 15, 24, 44, 47, 48, 12, 13, 15, 16, 18, 147, 148, 152Diameter 196dilatasi 141, 1, 2, 8, 11, 12, 52, 54, 55, 71disjungsi 13, 51, 52domain 51Eekuivalen 23, 26, 28, 29, 10, 34, 41, 42, 191Ffungsi 47, 50, 51, 45, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 73, 74, 75, 76, 54, 57, 59, 71, 50, 51, 62, 63, 66, 68, 69, 56, 55, 61, 78, 79, 80, 191, 192, 194Ggaris 7, 55, 56, 58, 59, 71, 66, 56, 55, 80, 93, 107, 106, 109, 116, 122, 125, 127, 132, 124, 137, 125, 134, 109, 116, 132, 142, 145, 146, 147, 148, 152, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 157, 159, 160, 161, 162, 163, 165, 181, 185, 186, 139, 140, 142, 166, 182, 157, 158, 159, 156, 162, 163, 164, 166, 180, 183, 189, 196, 197, 198HHimpunan 5, 14, 10, 11, 13, 21, 15, 18, 47, 49, 77, 104, 196Iimplikasi 1, 8, 17, 18, 19, 22, 21, 26, 25, 26, 28, 18, 24, 25, 27, 30, 40, 11, 79Ingkaran 5, 15, 16, 22, 23, 28, 2, 29, 40, 41, 6, 191, 196, 201invers 1, 26, 25, 26, 27, 25, 79JJajargenjang 106, 124, 134, 125, 124, 140, 196jarak 45, 56, 57, 105, 136, 146, 147, 152, 156, 159, 173, 174, 173, 139, 183, 196, 198jari-jari 113, 134, 109, 196Juring 196Kkalimat terbuka 1, 4, 5, 7, 41, 3keliling 111, 105, 116, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 127, 130, 132, 117, 118, 119, 123,
216Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAKRumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi125, 126, 129, 136, 137, 138, 133, 134, 120, 123, 128, 130, 131, 132, 146, 188, 189, 193kodomain 51, 52, 54, 55, 71, 51konjungsi 9, 1, 2, 8, 9konklusi 35kuantor 28LLayang-layang 106, 129, 135, 129, 130, 140, 197linear 3, 45, 54, 55, 56, 191lingkaran 111, 76, 113, 134, 109, 111, 113, 134, 109, 198, 196, 197, 198luas 68, 69, 70, 113, 105, 118, 122, 123, 125, 128, 129, 130, 132, 117, 118, 119, 123, 124, 125, 126, 129, 136, 137, 138, 133, 134, 120, 123, 126, 128, 130, 131, 132, 140, 157, 158, 161, 175, 186, 146, 166, 158, 188, 189Mmaksimum 67, 46, 63, 64, 65, 66, 69, 70, 71, 76menit 111, 112, 115, 135, 137, 115minimum 1, 35, 37NNegasi 40, 5, 77, 197Pparabola 63, 67, 71, 61persegi 43, 84, 85, 105, 115, 116, 118, 119, 127, 119, 136, 137, 133, 120, 115, 118, 119, 188persegipanjang 75, 105, 115, 116, 117, 118, 124, 117, 118, 136, 133, 134, 115, 116, 117, 188, 189premis 196, 197Probabilitas 197Rradian 134, 107, 110, 113, 114, 115, 134range 51, 71, 51refleksi 183, 139, 141, 146, 147, 148, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 165, 168, 170, 172, 179, 182, 183Relasi 45, 47, 48, 49, 50, 195, 197Rotasi 139, 166, 167, 169, 170, 166, 181, 140, 183, 197Ssegitiga 63, 64, 116, 192silogisme 24, 27, 83Sketsa 197TTali busur 198Tembereng 198teori 62Transformasi 195, 198Vvariabel 4, 7, 198
217Logika MatematikaDaftar Simbol~ : Ingkaran (negasi) : Konjungsi (dan)c : Disjungsi (atau) : Implikasi (jika ... maka ...) : Biimplikasi (jika hanya jika) : Ekuivalen (setara) : Untuk setiapŒ : Anggota himpunan : Ada (beberapa/sekurang-kurangnya satu)< : Lebih kecil dari> : Lebih besar dari≤ : Lebih kecil atau sama dengan≥ : Lebih besar atau sama dengan= : Sama dengan≠ : Tidak sama dengan∞ : Tak hingga : Sudut ° : Derajat : Phi' : Menit" : Detik : Besar sudut Teta : Tegak lurus// : Sejajar
218Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAKRumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan AkuntansiBarnett, Raymond A, et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences Edisi Ke-11.New Jersey: Pearson Prentice Hall.Bartle, Robert G. dan Sherbert, Donald R. 1994. Introduction to Real Analysis, Third Edition.New York: John Wiley & Sons, inc.Badan Standar Nasional Pendidikan. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan/Madrasah Aliyah Kejuruan Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.Budnick, Frank. S. 1993. Applied Mathematics for Bussines, Economics, and the Social Scences. New York: Mc. Graw-Hill. Inc.Fathani, A. Halim. 2007. Ensiklopedi Matematika. Jakarta: Ar-Ruzz Media.Frensidy, Budi. 2007. Matematika Keuangan. Jakarta: Salemba Empat.Koesmantono, dkk. 1983. Matematika Pendahuluan. Bandung: ITB.Negoro, S.T, dkk. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia.Purcell, Edwin J. dan Varberg, Dale. 1996. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I, Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.Rawuh R, dkk. 1962. Ilmu Ukur AnalitisJilid1dan2. Bandung: Terate. Simangunsong, Wilson. 1994. Matematika Dasar Ujian Masuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Erlangga.Sudjana. 2002. Metode Statistika, Edisi Keenam. Bandung: Tarsito.Sunyoto, Danang dan Henry Sarnowo. 2007. Matematika Ekonomi dan Keuangan. Jakarta:Media Pressindo.Verberg, Dale dan Edwin J.Purcell. 2004. Kalkulus Jilid 1 Edisi Ke-8. Jakarta: ErlanggaWahyudin, dkk. 2002. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta: Tarity Samudra Berlian.Wahyudin, dkk. 2003. Ensiklopedi Matematika (Topik-Topik Pengayaan). Jakarta: Tarity Samudra Berlian.Wallace, Edward. C dan Stephen F. 1992. West. Roads to Geometry. New Jersey: Prentice-Hall.Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi Keempat. Bandung: ITB.Daftar Pustaka
HET(Harga Eceran Tertinggi) Rp. 13.639,-Diunduh dari BSE.Mahoni.com